Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组.docx
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一．问题描述
用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
由Jacobi迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值。
使用了两倍的存储空间，浪费了存储空间。
若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第个分量时，用最新分量，代替旧分量，，可以起到节省存储空间的作用。
这样就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel迭代法。
二．算法设计
将分解成，则等价于
则Gauss-Seidel迭代过程
故
若设存在，则
令
则Gauss-Seidel迭代公式的矩阵形式为
其迭代格式为
（初始向量），
或者
三．程序框图
开始
读入数据，初始向量，增广矩阵
k=N?
输出迭代失败标志
结束
输出
四．结果显示
TestBench
利用Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组
，其中取。
运行程序
依次输入：
1．方阵维数
2．增广矩阵系数
3．初始向量
得到：
迭代12次后算出
x[1]=-4.0
x[2]=3.0
x[3]=2.0
五．程序
#include
#include
#include
#include
#define MAX_n 100
#definePRECISION 0.0000001
#defineMAX_Number 1000
voidVectorInput（floatx[],intn）//输入初始向量
{
inti;
for（i=1;i<=n;++i）
{
printf（"x[%d]=",i）;
scanf（"%f",&x[i]）;
}
}
voidMatrixInput（floatA[][MAX_n],intm,intn）//输入增广矩阵
{
inti,j;
printf（"\n输入系数矩阵：
\n"）;
for（i=1;i<=m;++i）
{
printf（"增广矩阵行数%d:
",i）;
for（j=1;j<=n;++j）
scanf（"%f",&A[i][j]）;
}
}
voidVectorOutput（floatx[],intn）//输出向量
{
inti;
for（i=1;i<=n;++i）
printf（"\nx[%d]=%f",i,x[i]）;
}
intIsSatisfyPricision（floatx1[],floatx2[],intn）//判断是否在规定精度内
{
inti;
for（i=1;i<=n;++i）
if（fabs（x1[i]-x2[i]）>PRECISION）return1;
return0;
}
intJacobi_（floatA[][MAX_n],floatx[],intn）//具体计算
{
floatx_former[MAX_n];
inti,j,k;
printf（"\n初始向量x0:
\n"）;
VectorInput（x,n）;
k=0;
do{
for（i=1;i<=n;++i）
{
printf（"\nx[%d]=%f",i,x[i]）;
x_former[i]=x[i];
}
printf（"\n"）;
for（i=1;i<=n;++i）
{
x[i]=A[i][n+1];
for（j=1;j<=n;++j）
if（j!
=i）x[i]-=A[i][j]*x[j]; if（fabs（A[i][i]）>PRECISION）
x[i]/=A[i][i];
else
return1;
}
++k;
}while（IsSatisfyPricision（x,x_former,n）&&k if（k>=MAX_Number）
return1;
else
{
printf（"\nGauss-Seidel迭代次数为%d次",k）;
return0;
}
}
intmain（）//主函数
{
intn;
floatA[MAX_n][MAX_n],x[MAX_n];
printf（"\n方阵维数n="）;
scanf（"%d",&n）;
if（n>=MAX_n-1）
{
printf（"\n\007nmust<%d!
",MAX_n）;
exit（0）;
}
MatrixInput（A,n,n+1）;
if（Jacobi_（A,x,n））
printf（"\nGauss-Seidel迭代失败!
"）;
else
{
printf（"\n结果:
"）;
VectorOutput（x,n）;
}
printf（"\n\n\007Pressanykeytoquit!
\n"）;
getch（）;
}
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