关于利用泰勒公式判断广积分的敛散性的应用1docWord格式文档下载.docx

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黄少睁

学号：

200905091122

专业：

数学与应用数学

年级：

2009级

学院：

数学与统计学院

完成日期：

2013年4月27日

指导教师：

沈有建（教授）

略说泰勒公式的应用

作者：

黄少睁指导教师：

沈有建

（海南师范大学数学与统计学院，海口，571158）

摘要：

泰勒公式在数学应用占有重要的地位，它在解决数学问题以及数学运用方面有着十分显著的作用。

本文主要采取举例分析的形式理解泰勒公式在解决极限运算、近似计算、中值问题、行列式计算、高阶导数及不等式证明等数学问题中的应用，更好的阐述其应用功能．

关键词：

泰勒公式广义积分敛散性极限高阶导数

ApplicationofTaylorformula

Author:

HuangshaozhengTutor:

Shenyoujian（Professor）

（SchoolofMathematicsandstatistics,Hainannormaluniversity，Haikou,571158）

Abstract:

theTaylorformulaplaysanimportantroleintheapplicationofmathematics,ithasaverysignificantroleinsolvingmathematicalproblemsandmathematicalapplication.

ThispapermainlyadoptstheformoftheTaylorformulaforanalysisofunderstandinginsolvinglimitoperation,approximatecalculation,medianproblem,determinantcalculation,highorderderivativeandinequalityprovingmathematicalproblemsinapplication,theapplicationfunctiononbetter

Keywords:

TaylorformulaGeneralizedintegralConvergenceLimitHighorderderivative

引言

泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的公式，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具．但一般高等教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未进行深入探讨。

实际上利用泰勒公式不仅能将一些初等函数近似地表示成多项式，进行函数值的近似计算，还可用来证明不等式，求极限，判断广义积分的敛散性，行列式的值等，本文通过若干实例总结了泰勒公式在数学领域中分析问题的灵活运用，更好的阐述其应用功能．

预备知识

泰勒（Taylor）公式的不同形式：

a.如果函数在点的某邻域内具有阶导数，则对此邻域内的点，有下述带有皮亚诺（Peano）型余项的泰勒公式：

．

b.如果函数在点的某邻域内具有阶导数，则对此邻域内的点，有下述带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式：

，

其中介于与之间．当时，上式称为麦克劳林公式．

常用的基本初等函数的麦克劳林公式是：

，，；

　，

　　　　　　　　　　　　，；

　，，．

1.判断广义积分的敛散性

在判定广义积分的敛散性时，需取比较分析，通过研究无穷小量的阶来有效地选择的P值，从中判定的敛散性

a.收敛

例题判断广义积分的敛散性

解：

故：

而

由比较判别法可知原广义积分收敛。

b．发散

例题广义积分是否收敛？

故

而发散，从而也发散

通过上面题型，可发现利用泰勒公式判定广义积分的敛散性问题，是一个重要的的开拓点。

应用这些解题技巧对理解理解数学的思维，是非常有益的

2.解决极限运算问题

高等数学中常见的问题之一极限问题，利用泰勒公式来解决这类问题比洛比达法则，等价无穷小代换等方法更简便．

例题求极限

例题2　确定，使．

因为极限为0，由此得到，，．

3．求函数的高阶导数

　　按照的泰勒公式，其通项中的的系数是，利用这一点可以反过来求高阶导数的数值，往往比依次求导来得简便．由泰勒公式展开的唯一性，得泰勒公式各项系数

则可得高阶导数，即

例题　求在处的阶导数．

由泰勒公式

及

得，故．

参考文献：

【1】华东师范大学数学系数学分析上册北京；

高等教育出版社

【2】张天德韩振来主编数学分析习题精解天津：

天津科学技术出版社

【3】吴良森.宋国栋等主编数学分析习题精解北京：

科学出版社

【4】吴良森毛羽辉韩士安吴畏.《数学分析学习指导书》.高等教育出版社