概率论中几种具有可加性的分布及其关系.docx

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概率论中几种具有可加性的分布及其关系

摘要……………………………………………………………………………………………1

关键词…………………………………………………………………………………………1

Abstract………………………………………………………………………………………1

Keywords……………………………………………………………………………………1

引言………………………………………………………………………………1

1几种常见的具有可加性的分布…………………………………………………………1

1.1二项分布………………………………………………………………………………2

1.2泊松分布（分布）……………………………………………………………3

1.3正态分布···…………………………………………………………………4

1.4伽玛分布……………………………………………………………………………6

1.5柯西分布………………………………………………………………………………7

1.6卡方分布………………………………………………………………………………7

2具有可加性的概率分布间的关系………………………………………………………8

2.1二项分布的泊松近似…………………………………………………………………8

2.2二项分布的正态近似…………………………………………………………………9

2.3正态分布与泊松分布间的关系………………………………………………………10

2.4正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系…………………11

3小结………………………………………………………………………………………12

参考文献……………………………………………………………………………………12

致谢…………………………………………………………………………………………13

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

摘要概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：

二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论.

关键词概率分布可加性相互独立特征函数

SeveralKindsofProbabilityDstributionanditsRelationshipwithAdditive

AbstractProbabilityandmathematicalstatisticsintheprobabilitydistributionofadditivityisaveryimportantcontent.Thedistributionoftheso-calledadditivityreferstothedistributionofthesamekindofindependentrandomvariablesanddistributionarestillbelongtothiskindofdistribution.Combinedwithitscharacteristics,heregivenseveralhasadditivitydistributioninprobabilitytheory:

thebinomialdistribution,poissondistributionandnormaldistributionandcauchydistribution,chi-squaredistributionandgammadistribution.Articlediscussesthenatureofallkindsofdistributionanditsproofofadditivity,additiveofproofdistributionarealsogiventwomethods,namelyusingconvolutionformulaandcharacteristicfunctionofarandomvariable.Inaddition,thispapertherelationshipsbetweentheadditivepropertydistribution,suchasthebinomialdistributionofpoissonapproximation,Dimo-Laplace'scentrallimittheorem,andsoon,hascarriedonthedifferentlevelsofdiscussion.

KeyWordsprobabilitydistributionadditivitypropertymutualindependencecharacteristicfunction

引言概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等.

1几种常见的具有可加性的分布

在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]：

离散场合的卷积公式设离散型随机变量彼此独立，且它们的分布列分别是和则的概率分布列可表示为

连续场合的卷积公式设连续型随机变量彼此独立，且它们的密度函数分别是，则它们的和的密度函数如下

其证明如下：

的分布函数是

其中为的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到的密度函数：

即证.

在概率分布可加性的证明中，除了卷积公式，我们常用的证明方法还有利用随机变量的特征函数.

下面我们来讨论一下这几种具有可加性的分布及其可加性证明的过程中卷积公式和特征函数的应用.

1.1二项分布

1.1.1二项分布的概念

如果记为n次伯努利试验中成功（记为事件A）的次数，则的可能取值为0，1，2，……，n.记p为事件A发生的概率，则记为即

因n次伯努利试验的基本结果可以记作 ѡ=（w1,w2，…ѡn），wi或为或为,这样的w共有2n个，这个样本点w组成了样本空间Ω.

下求的分布列，即求事件{}的概率.若某个样本点 ѡ=（w1,w2，…ѡn）∈{}，意味着w1,w2，…ѡn中有个，个，由独立性即可得:

（）

而事件{=}中这样的w共有个，所以的分布列为

=（1-p），

此分布即称为二项分布，记作.且我们易验证其和恒为.也就是

=.

n=1时，二项分布称为两点分布，有时也称之为分布.

二项分布的图像具有以下特点：

二项分布的图像形状取决于和的大小，随着的增加，分布图高峰逐渐右移.

当时，图像是对称的.

1.1.2二项分布的可加性

定理1.1.1设而且相互独立，记则有

证明因所以易知可以取等个值.根据卷积公式，事件的概率可以表示为

又因所以

也就是说，即证！

1.2泊松分布分布

与二项分布一样，泊松分布也是一种离散分布，许多随机现象，特别是社会现象与物理学中的一些随机现象都服从于泊松分布.泊松分布可作为描述大量试验中稀有事件出现次数的概率分布的数学模型.

1.2.1泊松分布的概率分布列

泊松分布的概率分布如下所示：

…，其中大于，记作.

对于泊松分布而言，它的参数即是期望又是它的方差：

.

又因，

=

=

=

故的方差为=

1.2.2泊松分布的可加性

定理1.2.1设随机变量，且相互独立，则

证明此处

根据卷积公式，有

所以即证！

同样我们可以利用特征函数对其进行证明，此处不再赘述.

1.3正态分布

1.3.1正态分布的定义[6]

定义1.3对于已经给定的两个常数和>0，定义函数

它含有两个参数和.显然的，取正值.

我们称密度函数为的分布为正态分布，记作，它的分布函数记为

正态分布的密度函数的图像是一条钟形曲线，中间高两边低，而且关于对称，在此处取最大值我们称为该正态分布的中心，在附近取值的可能性比较大，在处有拐点.

若将固定，改变的取值，则越大，曲线峰顶越低，图像较为平坦；越小，曲线封顶越高，图像较为陡峭.因此正态密度函数的尺度由确定，故称为尺度参数.

同样的，将固定，而去改变的值，会发现图像沿轴平移而并不改变形状，也就说明该函数的位置由决定，故称其为位置参数.

当时的正态分布称为标准正态分布，记作.它的密度函数记为，分布函数记为.则有

1.3.2一般正态分布的标准化

对于正态分布族

标准正态分布只是其中一个成员.其实在应用中很少有随机变量恰好服从标准正态分布，可是一般正态分布均可以利用线性变换转变成标准正态分布.所以一切与正态变量有关的事件的概率均可通过标准正态分布分布求取.

定理1.3.1如果随机变量，则，其中为标准正态变量.

证明记与的分布函数分别为和，易知

因为正态分布函数严格递增而且处处可导，所以如果记和的密度函数分别是和，会有

由此即得，即证.

对于标准正态随机变量的数学期望为

因被积函数为奇函数，故上述积分值为0，也就是说

而对于一般正态变量，如果满足，由数学期望的线性性质则可得到

所以我们可以知道正态分布的数学期望即为其参数.

因为

且,由方差的性质

也就是说，正态分布的方差即是其另一个参数

1.3.3正态分布的可加性

定理1.3.2设随机变量而且和彼此独立，且则有

证明知服从于正态分布，且它们的密度函数分别是

又因彼此独立，所以

这正是数学期望为方差为的正态分布的特征函数，即证！

我们同样可以使用连续场合的卷积公式进行证明，详见文献[5]，此处不再赘述.

1.4伽玛分布

在讨论伽玛分布之前，我们先来看一下伽玛函数：

我们称

为伽玛函数，为其参数.它的性质如下：

取自然数的时候，有

1.4.1伽玛分布的定义

定义1.4如果随机变量的密度函数为

就称作服从伽玛分布，记为且的值均大于0.为伽玛分布的形状参数，为其尺度参数.当时，为严格单调递减的函数，在处取得奇异点；

当时，亦严格单调减，且时有

当时，为单峰函数，先上凸然后下凸；

当时，先下凸再上凸，最后下凸.而且随着的增大，逐渐接近于正态分布的密度函数.

1.4.2伽玛分布的可加性

定理1.4.1设随机变量且和彼此独立，则

证明知

且与彼此独立，所以

此即为的特征函数，根据惟一性定理则可知结论得证！

如正态分布，对于伽玛分布，我们同样可以利用连续场合的卷积公式对其可加性进行证明，详