正弦定理教案全Word格式.doc
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探究二:
能否推广到斜三角形?
(先研究锐角三角形,再探究钝角三角形)
当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,有,则.同理,(思考如何作高?
),从而.
探究三:
你能用其他方法证明吗?
1.证明一:
(等积法)在任意斜△ABC当中
S△ABC=.
两边同除以即得:
==.
2.证明二:
(外接圆法)如图所示,∠A=∠D,∴,
同理=2R,=2R.
3.证明三:
(向量法)过A作单位向量垂直于,由+=边同乘以单位向量得…..
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
=2R
[理解定理]
1公式的变形:
2.正弦定理的基本作用为:
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如;
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如。
一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形.
3.利用正弦定理解三角形使,经常用到:
①②③
三、教学例题:
例1已知在.
分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结:
已知两角一边
解:
∴
由得
由得
评述:
此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°
求出第三角,再利用正弦定理.
例2
,
练习:
P4——1.2题
例3在
∵
【变式】
四、小结:
五、课后作业
1在△ABC中,,则k为(2A)
A2RBRC4RD(R为△ABC外接圆半径)
2在中,已知角,则角A的值是
A.B.C.D.或
3、在△ABC中,
4、在中,若,则A=。
5、在△ABC中,,则三角形ABC的面积为
5、在中,已知,解三角形。
六、心得反思
1.1.1正弦定理学案
学习目标:
①发现并掌握正弦定理及其证明方法;
②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。
预习自测
1.正弦定理的数学表达式
2.一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做.
3.利用正弦定理可以解决两类三角形的问题
(1)
(2)
问题引入:
1、在任意三角形行中有大边对大角,小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系准确量化?
2、在中,角A、B、C的正弦对边分别是,你能发现它们之间有什么关系吗?
二合作探究:
1、探究一:
2、探究二:
3、探究三:
4、正弦定理的变形:
5、正弦定理的应用(能解决哪类问题):
三例题讲解
例1已知在
【变式】
思考:
通过上面的问题,你对使用正弦定理有什么想法?
四课堂练习:
必修5课本P4T1、2
五课后作业:
1在△ABC中,,则k为()
2△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC为()
A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形
3在中,已知角,则角A的值是
A.B.C.D.或
六心得反思
1.1.2解三角形的进一步讨论
教学目标
掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;
三角形各种类型的判定方法。
教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;
教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
在ABC中,已知,,,解三角形。
(由学生阅读课本第9页解答过程)
从此题的分析我们发现,在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些条件下会出现无解的情形。
下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
探究一.在ABC中,已知,讨论三角形解的情况
分析:
先由可进一步求出B;
则,从而
1.当A为钝角或直角时,必须才能有且只有一解;
否则无解。
2.当A为锐角时,如果≥,那么只有一解;
3.如果,那么可以分下面三种情况来讨论:
(1)若,则有两解;
(2)若,则只有一解;
(3)若,则无解。
(以上解答过程详见课本第910页)
注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当A为锐角且
时,有两解;
其它情况时则只有一解或无解。
探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗?
例1.根据下列条件,判断解三角形的情况
(1)a=20,b=28,A=120°
.无解
(2)a=28,b=20,A=45°
;
一解
(3)c=54,b=39,C=115°
(4)b=11,a=20,B=30°
两解
[随堂练习1]
(1)在ABC中,已知,,,试判断此三角形的解的情况。
(2)在ABC中,若,,,则符合题意的b的值有_____个。
(3)在ABC中,,,,如果利用正弦定理解三角形有两解,求x的取值范围。
(答案:
(1)有两解;
(2)0;
(3))
例2.在中,已知判断的形状.
令,由正弦定理,得,,.代入已知条件,得,即.又,,,所以,从而为正三角形.
说明:
(1)判断三角形的形状特征,必须深入研究边与边的大小关系:
是否两边相等?
是否三边相等?
还要研究角与角的大小关系:
是否两角相等?
是否三角相等?
有无直角?
有无钝角?
(2)此类问题常用正弦定理(或将学习的余弦定理)进行代换、转化、化简、运算,揭示出边与边,或角与角的关系,或求出角的大小,从而作出正确的判断.
[随堂练习2]
1.△ABC中,,则△ABC为(A)
A.直角三角形B.等腰直角三角形
C.等边三角形D.等腰三角形
2.已知ABC满足条件,判断ABC的类型。
答案:
ABC是等腰或直角三角形
Ⅳ.课时小结
(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;
(2)三角形各种类型的判定方法;
Ⅴ.课后作业
1.根据下列条件,判断解三角形的情况
2在中,a=15,b=10,A=60°
,则=
A-BC-D
3已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.
六心得反思
1.1.2解三角形的进一步讨论学案
【学习目标】1.掌握已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论;
2.三角形各种形状的判断方法;
【学习重难点】1.已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论;
三角形各种形状的判断方法。
一、情景问题:
我们在解三角形时可以会出现一些我们预想不到的结果,现在请大家思考下面问题:
在中,已知,解三角形。
二、探索研究:
结论:
[变式练习1]
[变式练习2]
1.△ABC中,,则△ABC为()
四.尝试小结
五.课后作业
2在中,a=15,b=10,A=60°
3已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.
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