12年中考数学专题复习(二)圆文档格式.doc
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能够重合的两个圆叫做等圆。
同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。
（7）圆的对称性：
圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。
二圆中的重要定理
1．垂径定理及其推论：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
推论1：
一条直线，如果具有①过圆心；
②垂直于弦；
③平分弦（非直径）；
④平分弦所对的劣弧；
⑤平分弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．
推论2：
圆的平行弦所夹的弧相等．
2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论．
在同圆或等圆中，四组量：
①两个圆心角；
②两条弧；
③两条弦；
④两条弦心距．其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：
圆心角相等
3．圆周角
①定义：
顶点在圆上，且两边与圆相交的角．
②定理及推论
定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90o的圆周角所对的弦是直径．
推论3：
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
推论4：
圆内接四边形定理：
圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．
三、直线和圆的位置关系：
1．直线和圆的位置关系的定义及有关概念
（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线．
（2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2）
这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
·
O
图2
（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）
图1
2．直线和圆的位置关系性质和判定
如果⊙O的半径，圆心O割直线的距离为，那么
（1）直线和⊙O相交（图
1）；
（2）直线和⊙O相切（图2）；
（3）直线和⊙O相离（图3）．
图3
四、切线的判定和性质：
（一）切线的判定
1．切线判定定理：
经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线．
（二）切线的性质
1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径；
推论1：
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
推论2：
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2．切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
五、三角形的内切圆
1．三角形的外接圆
过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。
三角形的外心到各顶点的距离相等．
2．外心的位置
锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径（C为斜边长）
3．三角形的内切圆
到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．若三角形的面积为，周长为a+b+c,则内切圆半径为:
，当为直角三角形的直角边，为斜边时，内切圆半径或.
4．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的对角互补；
（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．
注意：
①圆内接平行四边形为矩形；
②圆内接梯形为等腰梯形．
六、切线长定理：
1．切线长概念：
在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R，叫做这点到圆的切线长．
2．切线长和切线的区别
切线是直线，不可度量；
而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．
3．切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
A A
O A
C A
D A
B A
P A
要注意：
此定理包含两个结论，如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，①PA=PB②PO平分．
4．两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．
七、弦切角定理：
1．弦切角概念：
理解体弦切角要注意两点：
①角的顶点在圆上；
②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．
2．弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：
弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．
3．弦切角定理的推论：
P
A
B
C
D
推论：
如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．
八与比例线段相关的定理（了解）
1．相交弦定理及其推论：
（1）定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
如图，AB，CD相交余E，则AE·
EB=CE·
DE
（2），推论：
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成
T
的两条线段的比例中项．如上右图，有AE·
EB=CE成立
2，切割线定理及其推论
（1）定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆
交点的两条线段长的比例中项．如上左图，PT切⊙O,PAB是⊙O的一条
割线，则有PT=PA·
PB成立．
（2）推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点
的两条线段长的积相等．
如上右图，有PA·
PB=PC·
PD成立．
九圆中的相关计算
1．弧长公式：
半径为R的圆，其周长是，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的，而为，因此，的弧的弧长就是，于是得到公式：
。
2．
（1）扇形的定义：
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。
（2）扇形的周长：
（3）扇形的面积：
如图，阴影部分的面积即为扇形OAB的面积。
S扇形=
m
由上面两公式可知S扇形=．可据已知条件灵活选用公式。
3．弓形的面积
（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB。
（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB。
十．两圆的位置关系：
1圆与圆的位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
O1
O2
公共点
0个
1个
2个
d、r、R的关系
d>
R+r
d=R+r
R-r<
d<
d=R-r
R-r
外公切线
2条
1条
0条
内公切线
2．两圆连心线的性质
（1）如果两圆相切,那么切点位于这两个圆的连心线上．
（2）相交两圆的连心线垂直平分这两个圆的公共弦．
3．两圆的公切线
（1）与两圆都相切的直线,叫做这两个圆的公切线,两个圆在公切线的同旁时,这条公切线叫做这两个圆的外公切线;
两个圆在公切线的两旁时,这条公切线叫做这两个圆的内公切线;
公切线上两个切点间的距离,叫做这条公切线（段）的长;
（2）两圆的两条外公切线长相等;
（3）两圆的两条内公切线长相等，且交点位于这两个圆的连心线上；
（4）两圆相切可以运用于弧与弧的平浓连接．
考点扫描归纳
1角度的计算
1．（2010年山东省青岛市）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=24°
，则∠BOC=°
．
2、（2010年安徽省B卷）13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧），点O是这段弧的圆心，C是弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是m．
3、（2010福建德化）如图，点B、C在⊙上，且BO=BC，则圆周角等于（）
A．B．C．D．
第1题图
第2题图第3题图
4．（2010年北京崇文）是圆O的直径，是圆O的弦，=48,则=．
5．（2010年门头沟区）如图，于，若，则 度．
第5题
第4题图
6.（2010年重庆潼南县）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°
则∠BOC的度数为（）
A．15°
B.30°
C.45°
D．60°
7.（2010年兰州市）有下列四个命题：
①直径是弦；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
8.（2010年安徽中考）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝500，点D是BAC上一点，则∠D＝_______________
第8题第9题第10题
9．（2010重庆市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°
，则∠AOC的度数等于（）
A．140°
B．130°
C．120°
D．110°
10.（2010年四川省眉山市）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°
，则∠OBC的度数为_______．
11.（2010年福建省晋江市）如图，、、是⊙上的三点，且是优弧上与点、点不同的一点，
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