万有引力定律的两个重要推论_精品文档Word文件下载.doc
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证明 如图所示,一个匀质球层可以等效为许多厚度可以不计的匀质薄球壳组成.任取一个薄球壳,设球壳内有一质量为m的质点,某时刻该质点在P(任意位置)处,以质点(m)所在位置P为顶点,作两个底面积足够小的对顶圆锥.这时,两圆锥底面不仅可以视为平面,还可以视为质元.
设空腔内质点m到两圆锥底面中心的距离分别为r1、r2,两圆锥底面的半径为R1、R2,面密度为ρ.根据万有引力定律,两圆锥底面对质点的引力可以表示为
ΔF1=G(Δm1m)/r12=G(πR12ρm)/r12,
ΔF2=G(Δm2m)/r22=G(πR22ρm)/r22.
根据相似三角形对应边成比例,有
R1/r1=R2/r2,
则两个万有引力之比为
ΔF1/ΔF2=(R1/r1)2/(R2/r2)2=1.
因为两引力方向相反,所以引力的合力ΔF1+ΔF2=0;
依次类推,球壳上其他任意两对应部分对质点的合引力为零,整个球壳对质点的合引力为零,故由球壳组成的球层对质点的合引力也为零,即∑F=0.
推论2在匀质球体内部距离球心r处,质点受到的万有引力等于半径为r的球体的引力,即
F′=G(M′m)/r2.
证明 如图3所示,设匀质球体的质量为M,半径为R;
其内部半径为r的匀质球体的质量为M′.距球心O为r处的质点m受到的万有引力可以视为厚度为(R-r)的匀质球层和半径为r的匀质球体的引力的合力.根据匀质球层对质点的引力为零,所以质点受到的万有引力就等于半径为r匀质球体的引力.则
F′=G(M′m)/r2. ①
若已知匀质球体的总质量为M,则
M′/M=r3/R3,M′=(M/R3)r3,
则 F′=G(M′m)/r2=G[(Mm)/R3]r.
当r=0时,有
M′=0,F′=0.
注意:
这时不能根据万有引力公式得出下面典型的错误结论,即当r=0时,得
F′=G(M′m)/r2=∞.
因为当r≈0时,M′与m已不再是质点,万有引力公式已经不适用了.当r=R时,有
F=G(Mm)/R2.