概率论与数理统计第二章基础知识小结_精品文档Word文档格式.docx

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（1）0-1分布（）

01

（2）二项分布（）

（3）泊松分布（）

二、连续型随机变量分布函数及其概率密度

1.连续型随机变量的分布函数即概率密度定义：

其中，为X的分布函数，为X的概率密度。

2.概率密度的性质

（3）

（4）

3.三种常见的连续型随机变量

（1）均匀分布（）

（2）指数分布（）

（3）正态分布（）

（4）标准正态分布（）及其性质

性质：

A.

B.

（5）非标准正态分布标准化

设，则

z=x-μσ~N（0,1）

三、随机变量函数的概率分布

1.离散型随机变量函数的概率分布

设离散型随机变量X的分布律为：

……

则X的函数的分布律为：

……

2.连续型随机变量函数的分布

设X的连续型随机变量，其概率密度为。

设是一严格单调的可导函数，其值域为，且。

记为的反函数，则的概率密度为

特别地，当时，

本章历届试题

1.（2013.10.2）.设随机变量，Φ为标准正态分布函数，则=

A.Φ（x） B.1-Φ（x）

C.Φ D.1-Φ

PX>

x=1-PX≤x=1-Φx-μσ

2.（2013.10.13）.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则=.

解：

因为，随机变量X服从参数为1的指数分布

所以，X的概率密度为

3.（2013.10.14）.设随机变量,则Y的概率密度

=.

4.（2013.10.29）.设随机变量X的概率密度为

求：

（1）常数c;

（2）X的分布函数；

（3）.

（1）由得：

fx=x8,0<

x<

40,其他

（2）由得：

当x≤0时，

当时，；

当x≥4时，Fx=-∞xf（t）dt=-∞00dt+04t8dt+4x0dt=1

即X的分布函数为Fx=0,x≤0x216,0<

41,x≥4

5.（2013.4.3）.设随机变量X的分布函数为F（X）则（　）

　　A.F（b－0）－F（a－0）B.F（b－0）－F（a）

　　C.F（b）－F（a－0）D.F（b）－F（a）

6.（2013.4.14）.设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则

.

分析：

泊松分布的分布律为

由于随机变量X服从参数为1的泊松分布，所以

7.（2013.4.15）.设随机变量X的概率密度为，用Y表示对X的3次独立重复观察中事件出现的次数，则__0__.

Y~B（3,p），P{Y>

3}=0

p=PX>

3=3+∞f（x）dx=3+∞1x2dx=-1x3+∞=13

3=1-PX≤3=1--∞3f（x）dx=1-131x2dx=13

1x2dx=x-2dx=-x-1+C=-1x+C

由于，Y表示“对X的3次独立重复观察中事件出现”的次数，

所以Y~B3,13,（Y=0,1,2,3）

PY>

3=0

3=1-PY≤3

=1-PY=0-PY=1-PY=2-PY=3

=1-C30130233-C31131232-C32132231-C33133230

=1-827-49-29-127=0

7.（2014.4.2）设随机变量x的分布律为

X

-102

P

0.10.30.6

F（x）为X的分布函数，则F（0）=

A.0.1 B.0.3

C.0.4 D.0.6

F（0）=P{x=-1}+P{x=0}=0.1+0.3=0.4

8.（2014.4.14）设随机变量X服从区间[1，5]上的均匀分布，F（x）为X的分布函数，当1≤x≤5时,F（x）=_x-14______.

fx=14,1≤x≤50,其他

当1≤1<

5时，FX=1x14dt=t41x=x-14

9.（2014.4.15）设随机变量X的概率密度为=_______.

12=1212xdx=x2121=1-14=34

10.（2014.4.16）已知随机变量X~N（4，9），，则常数c=_______.

c=1-PX≤c=PX≤c,所以PX≤c=12=Φ0

由于X~N4，9，所以z=x-43~N（0,1）

PX≤c=PX-43≤c-43=PZ≤c-43=Φc-43=Φ0

c-43=0,c=4

11.（2014.4.29）设随机变量X～N（0，1），记Y=2X，求：

（1）P{X<

-1}；

（2）P{|X|<

1};

（3）Y的概率密度.（）

1由于X~N0,1,所以

PX<

-1=Φ-1=1-Φ1=1-0.8413=0.1587

2由于X~N0,1,所以

1=2Φ1-1=2×

0.8413-1=0.6826

3由于X~N0,1,Y=2X,所以Y~N0,4,那么Y的概率密度函数为

fy=1σ2πe-（y-μ）22σ2=122πe-y28

8.（2013.1.3）以下函数中能成为某随机变量分布函数的是（）

A． B．

C． D．

（A），淘汰

（B），淘汰

（C），时，单调增加，答案C

（D），时，有增有减，淘汰。

9.（2013.1.4）．设～，的分布函数为，则的值为（）

A． B． C． D．

10.（2013.1.14）．设X的分布律为（），则_6__．

11.（2013.1.15），其中，若，则___________．

12.（2013.1.16）设X的分布律为

1

0.3

0.2

0.4

0.1

则0.6．

13.（2013.28）设连续型随机变量的分布函数为，

试求：

（1）系数；

（2）的概率密度；

（3）．

由于连续型随机变量的分布函数为

所以随机变量X的概率密度函数为

故

（2）的概率密度为