指数对数幂函数总结归纳_精品文档Word文档下载推荐.doc

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（3）幂指数不能随便约分.如.

要点二、根式的概念和运算法则

1．n次方根的定义：

若xn=y（n∈N*，n>

1，y∈R），则x称为y的n次方根，即x=.

n为奇数时，y的奇次方根有一个，是负数，记为；

零的奇次方根为零，记为；

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；

负数没有偶次方根；

零的偶次方根为零，记为.

2．两个等式

（1）当且时，；

（2）

①计算根式的结果关键取决于根指数n的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．

②指数幂的一般运算步骤

有括号先算括号里的；

无括号先做指数运算．

负指数幂化为正指数幂的倒数．

底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数（如），先要化成假分数（如15/4），然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．

在化简运算中，也要注意公式：

a2－b2＝（a－b）（a＋b），a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2），

（a±

b）2＝a2±

2ab＋b2，（a±

b）3＝a3±

3a2b＋3ab2±

b3，的运用，能够简化运算.

指数函数及其性质

要点一、指数函数的概念：

函数y=ax（a>

0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.

（1）形式上的严格性：

只有形如y=ax（a>

0且a≠1）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．

（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：

①如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．

②如果，则是个常量，就没研究的必要了。

而a=0时y=0没意义．

要点二、指数函数的图象：

y=ax

0<

a<

1时图象

a>

----

图象

（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。

（2）指数函数与的图象关于轴对称。

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律

①②③④

则：

0＜b＜a＜1＜d＜c

观察可知，底数越接近1，图象曲线越平缓，底数越远离1，图象曲线越陡，而且指数函数都过点（0,1）

又即：

x∈（0,+∞）时，（底大幂大）

x∈（－∞,0）时，（底小幂小）

要点四、指数式大小比较方法

（1）单调性法：

化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.

（2）中间量法：

（3）分类讨论法

（4）比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若；

；

②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．

对数及对数运算

要点一、对数概念

1.对数的概念

如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:

logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

对数式logaN=b中各字母的取值范围是：

0 且a¹

1，N>

0，bÎ

R.

2.对数具有下列性质：

（1）0和负数没有对数，即；

（2）1的对数为0，即；

（3）底的对数等于1，即.

3．两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，.

以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，.

要点二、对数的运算法则

已知

（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

（2）两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；

（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：

log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2（-3）与log2（-5）是不存在的.

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：

错误1：

loga（M±

N）=logaM±

logaN，

错误2：

（M·

N）=logaM·

logaN，

要点三、对数公式

1．对数恒等式：

2．换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>

0，a≠1，M>

0的前提下有:

（1）

令logaM=b，则有ab=M，（ab）n=Mn，即，则

所以得出结论:

.

（2），令logaM=b，则有ab=M，则有

即，即，即

当然，细心一些的同学会发现

（1）可由

（2）推出，但在解决某些问题

（1）又有它的灵活性.而且由

（2）还可以得到一个重要的结论:

对数函数及其性质

要点一、对数函数的概念

1．函数y=logax（a>

0，a≠1）叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为．

2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：

（1）系数为1；

（2）底数为大于0且不等于1的常数；

（3）对数的真数仅有自变量．

（1）只有形如y=logax（a>

0，a≠1）的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。

（2）求对数函数的定义域时应注意：

①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；

②对含有字母的式子要注意分类讨论。

要点二、对数函数的图象

0＜a＜1

a＞1

（1）关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.

（2）以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>

0；

当a，N异侧时，logaN<

0.

（3）由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．

2．底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系内，a越接近1，图象越陡，a越远离1，图象越平缓。

这刚好和指数函数的规律相反

所以可以总结出一句话，指数近一缓，对数近一陡。

要点四、反函数

1．反函数的定义

一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是B，根据这个函数中x、y的关系，用y把x表示出，得到x=g（y）。

若对于y在B中的任何一个值，通过x=g（y）（这时候x=g（y）里面的y是自变量，x是因变量），x在A中都有唯一的值和它对应，那么这个函数x=g（y）（x∈B）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f-1（x）。

反函数y=f-1 

（x）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域

由定义可以看出，函数y=f（x）的定义域A正好是它的反函数y=f-1（x）的值域；

函数y=f（x）的值域B正好是它的反函数y=f-1（x）的定义域．

由定义可知:

对数就是指数变换而来的，因此对数函数是和它底数相同的指数函数的反函数。

变化关系如右图：

不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如y=x2．一般说来，单调函数有反函数．

2．反函数的性质

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．

（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．

幂函数及图象变换

要点一、幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中x是自变量，为常数.

幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：

等都不是幂函数.

要点二、幂函数的图象及性质

各种幂函数的图象：

（4）；

（5）．

幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；

当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

2.作幂函数图象的步骤如下:

（1）先作出第一象限内的图象；

（2）若幂函数的定义域为（0，+∞）或[0，+∞），作图已完成；

若在（-∞，0）或（-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性

如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；

如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.

3.幂函数解析式的确定

（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．

（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．

（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．

4.幂函数值大小的比较

（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．

（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．

（3）常用的步骤是：

①构造幂函数；

②比较底的大小；

③由单调性确定函数值的大小．

要点三、初等函数图象变换

基本初等函数包含以下九种函数：

正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、耐克函数。

由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．

如：

的图象变换，

（1）平移变换

y=f（x）→y=f（x＋a）图象左（）、右（）平移

y=f（x）→y=f（x）＋b图象上（）、下（）平移

（2）对称变换

y=f（x）→y=f（－x）,图象关于y轴对称

y=f（x）→y=－f（x）,图象关于x轴对称

y=f（x）→y=－f（－x）图象关于原点对称

y=f（x）→图象关于直线y=x对称

（3）翻折变换：

y=f（x）→y=f（|x|）,把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分

关于y轴对称．（注意：

它是一个偶函数）

y=f（x）→y=|f（x）|把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象

关于x轴对称

（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。

（2）若f（a－x）＝f（a＋x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称。

指数函数、对数函数、幂函数配置习题

指数幂的概念与运算

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