指数对数幂函数总结归纳_精品文档Word文档下载推荐.doc
《指数对数幂函数总结归纳_精品文档Word文档下载推荐.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《指数对数幂函数总结归纳_精品文档Word文档下载推荐.doc(8页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![指数对数幂函数总结归纳_精品文档Word文档下载推荐.doc](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-10/14/4f2aecc4-20af-4397-a32f-8f593a4ead6c/4f2aecc4-20af-4397-a32f-8f593a4ead6c1.gif)
(3)幂指数不能随便约分.如.
要点二、根式的概念和运算法则
1.n次方根的定义:
若xn=y(n∈N*,n>
1,y∈R),则x称为y的n次方根,即x=.
n为奇数时,y的奇次方根有一个,是负数,记为;
零的奇次方根为零,记为;
n为偶数时,正数y的偶次方根有两个,记为;
负数没有偶次方根;
零的偶次方根为零,记为.
2.两个等式
(1)当且时,;
(2)
①计算根式的结果关键取决于根指数n的取值,尤其当根指数取偶数时,开方后的结果必为非负数,可先写成的形式,这样能避免出现错误.
②指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的;
无括号先做指数运算.
负指数幂化为正指数幂的倒数.
底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数(如),先要化成假分数(如15/4),然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质.
在化简运算中,也要注意公式:
a2-b2=(a-b)(a+b),a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),
(a±
b)2=a2±
2ab+b2,(a±
b)3=a3±
3a2b+3ab2±
b3,的运用,能够简化运算.
指数函数及其性质
要点一、指数函数的概念:
函数y=ax(a>
0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,a为常数,函数定义域为R.
(1)形式上的严格性:
只有形如y=ax(a>
0且a≠1)的函数才是指数函数.像,,等函数都不是指数函数.
(2)为什么规定底数a大于零且不等于1:
①如果,则对于一些函数,比如,当时,在实数范围内函数值不存在.
②如果,则是个常量,就没研究的必要了。
而a=0时y=0没意义.
要点二、指数函数的图象:
y=ax
0<
a<
1时图象
a>
----
图象
(1)当底数大小不定时,必须分“”和“”两种情形讨论。
(2)指数函数与的图象关于轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律
①②③④
则:
0<b<a<1<d<c
观察可知,底数越接近1,图象曲线越平缓,底数越远离1,图象曲线越陡,而且指数函数都过点(0,1)
又即:
x∈(0,+∞)时,(底大幂大)
x∈(-∞,0)时,(底小幂小)
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法:
化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较.
(2)中间量法:
(3)分类讨论法
(4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:
①若;
;
②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断,或即可.
对数及对数运算
要点一、对数概念
1.对数的概念
如果,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:
logaN=b.其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
对数式logaN=b中各字母的取值范围是:
0 且a¹
1,N>
0,bÎ
R.
2.对数具有下列性质:
(1)0和负数没有对数,即;
(2)1的对数为0,即;
(3)底的对数等于1,即.
3.两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数,.
以e(e是一个无理数,)为底的对数叫做自然对数,.
要点二、对数的运算法则
已知
(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和;
(2)两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数;
(3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数;
(1)利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围,即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如:
log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,因为虽然log2(-3)(-5)是存在的,但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.
(2)不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来,即下面的等式是错误的:
错误1:
loga(M±
N)=logaM±
logaN,
错误2:
(M·
N)=logaM·
logaN,
要点三、对数公式
1.对数恒等式:
2.换底公式
同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>
0,a≠1,M>
0的前提下有:
(1)
令logaM=b,则有ab=M,(ab)n=Mn,即,则
所以得出结论:
.
(2),令logaM=b,则有ab=M,则有
即,即,即
当然,细心一些的同学会发现
(1)可由
(2)推出,但在解决某些问题
(1)又有它的灵活性.而且由
(2)还可以得到一个重要的结论:
对数函数及其性质
要点一、对数函数的概念
1.函数y=logax(a>
0,a≠1)叫做对数函数.其中是自变量,函数的定义域是,值域为.
2.判断一个函数是对数函数是形如的形式,即必须满足以下条件:
(1)系数为1;
(2)底数为大于0且不等于1的常数;
(3)对数的真数仅有自变量.
(1)只有形如y=logax(a>
0,a≠1)的函数才叫做对数函数,像等函数,它们是由对数函数变化得到的,都不是对数函数。
(2)求对数函数的定义域时应注意:
①对数函数的真数要求大于零,底数大于零且不等于1;
②对含有字母的式子要注意分类讨论。
要点二、对数函数的图象
0<a<1
a>1
(1)关于对数式logaN的符号问题,既受a的制约又受N的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供同学们学习时参考.
(2)以1为分界点,当a,N同侧时,logaN>
0;
当a,N异侧时,logaN<
0.
(3)由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降(即函数的单调性),因此在解与对数函数单调性有关的问题时,必须考虑底数是大于1还是小于1,不要忽略.
2.底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内,a越接近1,图象越陡,a越远离1,图象越平缓。
这刚好和指数函数的规律相反
所以可以总结出一句话,指数近一缓,对数近一陡。
要点四、反函数
1.反函数的定义
一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是B,根据这个函数中x、y的关系,用y把x表示出,得到x=g(y)。
若对于y在B中的任何一个值,通过x=g(y)(这时候x=g(y)里面的y是自变量,x是因变量),x在A中都有唯一的值和它对应,那么这个函数x=g(y)(x∈B)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f-1(x)。
反函数y=f-1
(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域
由定义可以看出,函数y=f(x)的定义域A正好是它的反函数y=f-1(x)的值域;
函数y=f(x)的值域B正好是它的反函数y=f-1(x)的定义域.
由定义可知:
对数就是指数变换而来的,因此对数函数是和它底数相同的指数函数的反函数。
变化关系如右图:
不是每个函数都有反函数,有些函数没有反函数,如y=x2.一般说来,单调函数有反函数.
2.反函数的性质
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.
(2)若函数图象上有一点,则必在其反函数图象上,反之,若在反函数图象上,则必在原函数图象上.
幂函数及图象变换
要点一、幂函数概念
形如的函数,叫做幂函数,其中x是自变量,为常数.
幂函数必须是形如的函数,幂函数底数为单一的自变量x,系数为1,指数为常数.例如:
等都不是幂函数.
要点二、幂函数的图象及性质
各种幂函数的图象:
(4);
(5).
幂函数随着的取值不同,它们的定义域、性质和图象也不尽相同,但它们有一些共同的性质:
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;
当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
2.作幂函数图象的步骤如下:
(1)先作出第一象限内的图象;
(2)若幂函数的定义域为(0,+∞)或[0,+∞),作图已完成;
若在(-∞,0)或(-∞,0]上也有意义,则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数,则根据y轴对称作出第二象限的图象;
如果为奇函数,则根据原点对称作出第三象限的图象.
3.幂函数解析式的确定
(1)借助幂函数的定义,设幂函数或确定函数中相应量的值.
(2)结合幂函数的性质,分析幂函数中指数的特征.
(3)如函数是幂函数,求的表达式,就应由定义知必有,即.
4.幂函数值大小的比较
(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性,当不便于利用单调性时,可与0和1进行比较.常称为“搭桥”法.
(2)比较幂函数值的大小,一般先构造幂函数并明确其单调性,然后由单调性判断值的大小.
(3)常用的步骤是:
①构造幂函数;
②比较底的大小;
③由单调性确定函数值的大小.
要点三、初等函数图象变换
基本初等函数包含以下九种函数:
正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、耐克函数。
由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数.
如:
的图象变换,
(1)平移变换
y=f(x)→y=f(x+a)图象左()、右()平移
y=f(x)→y=f(x)+b图象上()、下()平移
(2)对称变换
y=f(x)→y=f(-x),图象关于y轴对称
y=f(x)→y=-f(x),图象关于x轴对称
y=f(x)→y=-f(-x)图象关于原点对称
y=f(x)→图象关于直线y=x对称
(3)翻折变换:
y=f(x)→y=f(|x|),把y轴右边的图象保留,然后将y轴左边部分
关于y轴对称.(注意:
它是一个偶函数)
y=f(x)→y=|f(x)|把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象
关于x轴对称
(1)函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。
(2)若f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
指数函数、对数函数、幂函数配置习题
指数幂的概念与运算
1