中考数学冲刺代几综合问题知识讲解提高附答案Word文档下载推荐.docx
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函数型综合题主要有:
几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题,是各地中考试题中的热点题型.主要是以函数为主线,建立函数的图象,结合函数的性质、方程等解题.解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化.例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根;
点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等.
函数是初中数学的重点,也是难点,更是中考命题的主要考查对象,由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想,能较全面地反映学生的综合能力,有较好的区分度,因此是各地中考的热点题型.
几何综合题考查知识点多、条件隐晦,要求学生有较强的理解能力,分析能力,解决问题的能力,对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力,并有较强的创新意识与创新能力.
1.几何型综合题,常以相似形与圆的知识为考查重点,并贯穿其他几何、代数、三角等知识,以证明、计算等题型出现.
2.几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算,主要有线段和弧长的计算,角的计算,三角函数值的计算,以及各种图形面积的计算等.
3.几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力.
4.解几何综合题应注意以下几点:
(1)注意数形结合,多角度、全方位观察图形,挖掘隐含条件,寻找数量关系和相等关系;
(2)注意推理和计算相结合,力求解题过程的规范化;
(3)注意掌握常规的证题思路,常规的辅助线作法;
(4)注意灵活地运用数学的思想和方法.
【典型例题】
类型一、方程与几何综合的问题
1.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°
,AB=7,AD=2,BC=3.问:
线段AB上是否存在点P,使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似?
若存在,这样的总共有几个?
并求出AP的长;
若不存在,请说明理由.
【思路点拨】
由于以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似时的对应点不能确定,故应分两种情况讨论.
【答案与解析】
解:
存在.
∵AD∥BC,∠A=90°
,
∴∠B=90°
当△PAD∽△PBC时,
∵AD=2,BC=3,设AP=x,PB=7-x,则
∴.①
当△ADP∽△BPC时,
AD=2,BC=3,设设AP=x,PB=7-x,则
∴AP=1或AP=6.②
由①②可知,P点距离A点有三个位置:
,AP=1,AP=6.
【总结升华】
本题考查的是相似三角形的判定,解答此题时要注意分类讨论,不要漏解.
举一反三:
【变式】有一张矩形纸片ABCD,已知AB=2,AD=5.把这张纸片折叠,使点A落在边BC上的点E处,折痕为MN,MN交AB于M,交AD于N.
(1)若BE=,试画出折痕MN的位置,并求这时AM的长;
(2)点E在BC上运动时,设BE=x,AN=y,试求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)连接DE,是否存在这样的点E,使得△AME与△DNE相似?
若存在,请求出这时BE的长;
【答案】
(1)画出正确的图形.(折痕MN必须与AB、AD相交).
设AM=t,则ME=t,MB=2-t,由BM2+BE2=ME2,得t=,即AM=.
(2)如图(a),∵BE=x,设BM=a,
则a2+x2=(2-a)2,
a2+x2=4-4a+a2,
∴a=,
AM=2-BM=2-=.
由△AMN∽△BEA,得,∴y=,
∵0<x≤2,0<y≤5,
x的取值范围为:
.
(3)如图(b),若△AME与△DNE相似,不难得∠DNE=∠AME.
又∵AM=ME,∴DN=NE=NA=,∴=
解得:
x=1或x=4.
又∵,故x=1.
或者由∠DEN=∠AEM,得∠AED=90°
推出△ABE∽△ECD,
从而得BE=1.
类型二、函数与几何综合问题
2.如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t(t>0)秒,抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0)、B(1,-5)、D(4,0).
⑴求c、b(可以用含t的代数式表示);
⑵当t>
1时,抛物线与线段AB交于点M.在点P的运动过程中,你认为∠AMP的大小是否会变化?
若变化,说明理由;
若不变,求出∠AMP的值;
⑶在矩形ABCD的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分,请直接写出t的取值范围.
(1)由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P,将点O与P的坐标代入方程即可求得c,b;
(2)当x=1时,y=1-t,求得M的坐标,则可求得∠AMP的度数;
(3)根据图形,可直接求得答案.
(1)把x=0,y=0代入y=x2+bx+c,得c=0,
再把x=t,y=0代入y=x2+bx,得t2+bt=0,
∵t>0,
∴b=-t;
(2)不变.
∵抛物线的解析式为:
y=x2-tx,且M的横坐标为1,
∴当x=1时,y=1-t,
∴M(1,1-t),
∴AM=|1-t|=t-1,
∵OP=t,∴AP=t-1,
∴AM=AP,
∵∠PAM=90°
,∴∠AMP=45°
;
(3)<t<.
①左边4个好点在抛物线上方,右边4个好点在抛物线下方:
无解;
②左边3个好点在抛物线上方,右边3个好点在抛物线下方:
则有-4<y2<-3,-2<y3<-1,
即-4<4-2t<-3,-2<9-3t<-1,
∴<t<4且<t<,解得<t<;
③左边2个好点在抛物线上方,右边2个好点在抛物线下方:
④左边1个好点在抛物线上方,右边1个好点在抛物线下方:
⑤左边0个好点在抛物线上方,右边0个好点在抛物线下方:
综上所述,t的取值范围是:
<t<.
此题考查了二次函数与点的关系.此题综合性很强,难度适中,解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.
类型三、动态几何中的函数问题
3.如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与轴交于,与轴交于A、B两点,点B的坐标为
(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标;
(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点,若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:
2的两部分,求出此时点的坐标;
(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点,问:
点P在何处时△的面积最大?
最大面积是多少?
并求出此时点P的坐标.
(1)抛物线的解析式中只有两个待定系数,因此只需将点B、C的坐标代入其中求解即可.
(2)先画出相关图示,连接OD后发现:
S△OBD:
S四边形ACDB=2:
3,因此直线OM必须经过线段BD才有可能符合题干的要求;
设直线OM与线段BD的交点为E,根据题干可知:
△OBE、多边形OEDCA的面积比应该是1:
2或2:
1,即△OBE的面积是四边形ACDB面积的,所以先求出四边形ABDC的面积,进而得到△OBE的面积后,可确定点E的坐标,首先求出直线OE(即直线OM)的解析式,联立抛物线的解析式后即可确定点M的坐标(注意点M的位置).
(3)此题必须先得到关于△CPB面积的函数表达式,然后根据函数的性质来求出△CPB的面积最大值以及对应的点P坐标;
通过图示可发现,△CPB的面积可由四边形OCPB的面积减去△OCB的面积求得,首先设出点P的坐标,四边形OCPB的面积可由△OCP、△OPB的面积和得出.
(1)由题意,得:
解得:
所以,二次函数的解析式为:
,顶点D的坐标为(-1,4).
(2)画图由A、B、C、D四点的坐标,易求四边形ACDB的面积为9.直线BD的解析式为y=2x+6.
设直线OM与直线BD交于点E,则△OBE的面积可以为3或6.
①当时,如图,易得E点坐标(-2,-2),直线OE的解析式为y=-x.
设M点坐标(x,-x),
∴
②当时,同理可得M点坐标.
∴M点坐标为(-1,4).
(3)如图,连接,设P点的坐标为,
∵点P在抛物线上,∴,
∵,∴当时,.△的面积有最大值
∴当点P的坐标为时,△的面积有最大值,且最大值为
此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识;
(2)问中,一定先要探究一下点M的位置,以免出现漏解的情况.
【变式】如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线=-+交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;
若改变,请说明理由.
(1)由题意得B(3,1).
若直线经过点A(3,0)时,则b=
若直线经过点B(3,1)时,则b=
若直线经过点C(0,1)时,则b=1.
①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图1,此时点E(2b,0).
∴S=OE·
CO=×
2b×
1=b.
②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<,如图2,
此时点E(3,),D(2b-2,1).
∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE+S△DBE)
=3-[(2b-1)×
1+×
(5-2b)•()+×
3()]
(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,C1B1与OA相交于点N,则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积.由题意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四边形DNEM为平行四边形,
根据轴对称知,
∠MED=∠NED,又∠MDE=∠NED,
∴∠MED=∠MDE,MD=ME,
∴平行四边形DNEM为菱形.
过点D作DH⊥OA,垂足为H,设菱形DNEM的边长为a,由题可知,
D(2b-2,1),E(2b,0),
∴DH=1,HE=2b-(2b-2)=2,
∴HN=HE-NE=2-a,则在Rt△