离散数学知识点总结文档格式.docx
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2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^;
3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词;
第4章集合
1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0;
2.基:
集合A中不同元素的个数,|A|;
3.幂集:
给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A);
4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有个元素,|P(A)|==;
5.集合的分划:
(等价关系)
①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合;
②这几个子集相交为空,相并为全(A);
6.集合的分划与覆盖的比较:
分划:
每个元素均应出现且仅出现一次在子集中;
覆盖:
只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次;
第5章关系
1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×
B的基数为mn,A到B上可以定义种不同的关系;
2.若集合A有n个元素,则|A×
A|=,A上有个不同的关系;
3.全关系的性质:
自反性,对称性,传递性;
空关系的性质:
反自反性,反对称性,传递性;
全封闭环的性质:
自反性,对称性,反对称性,传递性;
4.前域(domR):
所有元素x组成的集合;
后域(ranR):
所有元素y组成的集合;
5.自反闭包:
r(R)=RU;
对称闭包:
s(R)=RU;
传递闭包:
t(R)=RUUU……
6.等价关系:
集合A上的二元关系R满足自反性,对称性和传递性,则R称为等价关系;
7.偏序关系:
集合A上的关系R满足自反性,反对称性和传递性,则称R是A上的一个偏序关系;
8.covA={<
x,y>
|x,y属于A,y盖住x};
9.极小元:
集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一);
极大元:
集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一);
最小元:
比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一);
最大元:
比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一);
10.前提:
B是A的子集
上界:
A中的某个元素比B中任意元素都大,称这个元素是B的上界(若存在,可能不唯一);
下界:
A中的某个元素比B中任意元素都小,称这个元素是B的下界(若存在,可能不唯一);
上确界:
最小的上界(若存在就一定唯一);
下确界:
最大的下界(若存在就一定唯一);
第6章函数
1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有种不同的关系,有种不同的函数;
2.在一个有n个元素的集合上,可以有种不同的关系,有种不同的函数,有n!
种不同的双射;
3.若|X|=m,|Y|=n,且m<
=n,则从X到Y有种不同的单射;
4.单射:
f:
X-Y,对任意,属于X,且≠,若f()≠f();
满射:
X-Y,对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应;
双射:
X-Y,若f既是单射又是满射,则f是双射;
5.复合函数:
fº
g=g(f(x));
6.设函数f:
A-B,g:
B-C,那么
①如果f,g都是单射,则fº
g也是单射;
②如果f,g都是满射,则fº
g也是满射;
③如果f,g都是双射,则fº
g也是双射;
④如果fº
g是双射,则f是单射,g是满射;
第7章代数系统
1.二元运算:
集合A上的二元运算就是到A的映射;
2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×
A到A上的映射的个数,即从从A×
A到A上函数的个数,若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为==16种;
3.判断二元运算的性质方法:
①封闭性:
运算表内只有所给元素;
②交换律:
主对角线两边元素对称相等;
③幂等律:
主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同;
④有幺元:
元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同;
⑤有零元:
元素所对应的行和列的元素都与该元素相同;
4.同态映射:
A,*>
<
B,^>
满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<
到<
的同态映射;
若f是双射,则称为同构;
第8章群
1.广群的性质:
封闭性;
半群的性质:
封闭性,结合律;
含幺半群(独异点):
封闭性,结合律,有幺元;
群的性质:
封闭性,结合律,有幺元,有逆元;
2.群没有零元;
3.阿贝尔群(交换群):
封闭性,结合律,有幺元,有逆元,交换律;
4.循环群中幺元不能是生成元;
5.任何一个循环群必定是阿贝尔群;
第10章格与布尔代数
1.格:
偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界;
2.格的基本性质:
1)自反性
a≤a对偶:
a≥a
2)反对称性
a≤b^b≥a=>
a=b
对偶:
a≥b^b≤a=>
3)传递性
a≤b^b≤c=>
a≤c
a≥b^b≥c=>
a≥c
4)最大下界描述之一
a^b≤a对偶avb≥a
A^b≤b对偶avb≥b
5)最大下界描述之二
c≤a,c≤b=>
c≤a^b
对偶c≥a,c≥b=>
c≥avb
6)结合律
a^(b^c)=(a^b)^c
对偶av(bvc)=(avb)vc
7)
等幂律
a^a=a对偶ava=a
8)吸收律
a^(avb)=a对偶av(a^b)=a
9)
a≤b<
=>
a^b=aavb=b
10)a≤c,b≤d=>
a^b≤c^davb≤cvd
11)保序性
b≤c=>
a^b≤a^cavb≤avc
12)分配不等式
av(b^c)≤(avb)^(avc)
对偶a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)
13)模不等式
a≤c<
av(b^c)≤(avb)^c
3.分配格:
满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc);
4.分配格的充要条件:
该格没有任何子格与钻石格或五环格同构;
5.链格一定是分配格,分配格必定是模格;
6.全上界:
集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素,则称a为格<
A,<
的全上界,记为1;
(若存在则唯一)
全下界:
集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素,则称b为格<
的全下界,记为0;
7.有界格:
有全上界和全下界的格称为有界格,即有0和1的格;
8.补元:
在有界格内,如果a^b=0,avb=1,则a和b互为补元;
9.有补格:
在有界格内,每个元素都至少有一个补元;
10.有补分配格(布尔格):
既是有补格,又是分配格;
11.布尔代数:
一个有补分配格称为布尔代数;
第11章图论
1.邻接:
两点之间有边连接,则点与点邻接;
2.关联:
两点之间有边连接,则这两点与边关联;
3.平凡图:
只有一个孤立点构成的图;
4.简单图:
不含平行边和环的图;
5.无向完全图:
n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图;
有向完全图:
n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图;
6.无向完全图有n(n-1)/2条边,有向完全图有n(n-1)条边;
7.r-正则图:
每个节点度数均为r的图;
8.握手定理:
节点度数的总和等于边的两倍;
9.任何图中,度数为奇数的节点个数必定是偶数个;
10.任何有向图中,所有节点入度之和等于所有节点的出度之和;
11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路;
12.可达:
对于图中的两个节点,,若存在连接到的路,则称与相互可达,也称与是连通的;
在有向图中,若存在到的路,则称到可达;
13.强连通:
有向图章任意两节点相互可达;
单向连通:
图中两节点至少有一个方向可达;
弱连通:
无向图的连通;
(弱连通必定是单向连通)
14.点割集:
删去图中的某些点后所得的子图不连通了,如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的,则这些点组成的集合称为点割集;
割点:
如果一个点构成点割集,即删去图中的一个点后所得子图是不连通的,则该点称为割点;
15.关联矩阵:
M(G),是与关联的次数,节点为行,边为列;
无向图:
点与边无关系关联数为0,有关系为1,有环为2;
有向图:
点与边无关系关联数为0,有关系起点为1终点为-1,
关联矩阵的特点:
无向图:
①行:
每个节点关联的边,即节点的度;
②列:
每条边关联的节点;
有向图:
③所有的入度
(1)=所有的出度(0);
16.邻接矩阵:
A(G),是邻接到的边的数目,点为行,点为列;
17.可达矩阵:
P(G),至少存在一条回路的矩阵,点为行,点为列;
P(G)=A(G)+(G)+(G)+(G)
可达矩阵的特点:
表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路,以及在任何节点上是否存在回路;
A(G)中所有数的和:
表示图中路径长度为1的通路条数;
(G)中所有数的和:
表示图中路径长度为2的通路条数;
表示图中路径长度为3的通路条数;
表示图中路径长度为4的通路条数;
P(G)中主对角线所有数的和:
表示图中的回路条数;
18.布尔矩阵:
B(G),到有路为1,无路则为0,点为行,点为列;
19.代价矩阵:
邻接矩阵元素为1的用权值表示,为0的用无穷大表示,节点自身到自身的权值为0;
20.生成树:
只访问每个节点一次,经过的节点和边构成的子图;
21.构造生成树的两种方法:
深度优先;
广度优先;
深度优先:
①选定起始点;
②选择一个与邻接且未被访问过的节点;
③从出发按邻接方向继续访问,当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时,回到该节点的前一个点,再寻求未被访问过的邻接点,直到所有节点都被访问过一次;
广度优先:
②访问与邻接的所有节点,,……,,这些作为第一层节点;
③在第一层节点中选定一个节点为起点;
④重复②③,直到所有节点都被访问过一次;
22.最小生成树:
具有最小权值(T)的生成树;
23.构造最小生成树的三种方法:
克鲁斯卡尔方法;
管梅谷算法;
普利姆算法;
(1)克鲁斯卡尔方法
①将所有权值按从小到大排列;
②先画权值最小的边,然后去掉其边值;
重新按小到大排序;
③再画权值最小的边,若最小的边有几条相同的,选择时要满足不能出现回路,然后去掉其边值;
④重复③,直到所有节点都被访问过一次;
(2)管梅谷算法(破圈法)
①在图中取一回路,去掉回路中最大权值的边得一子图;
②在子图中再取一回路,去掉回路中最大权值的边再得一子图;
③重复②,直到所有节点都被访问过一次;
(3)普利姆算法
①在图中任取一点为起点,