华师大八年级数学(上)复习提纲.doc

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八年级华师大版数学（上）复习提纲（2011—2012学年）

第12章数的开方

§12.1平方根与立方根

一、平方根

1、平方根的定义：

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

（也叫做二次方根）

即：

若x2=a，则x叫做a的平方根。

2、平方根的性质：

（1）一个正数有两个平方根。

它们互为相反数；

（2）零的平方根是零；

（3）负数没有平方根。

二、算术平方根

1、算术平方根的定义：

正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。

2、算术平方根的性质：

（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；

（2）零的算术平方根是零；

（3）负数没有算术平方根；

（4）算术平方根的非负性：

≥0。

三、平方根和算术平方根是记号：

平方根±（读作：

正负根号a）；算术平方根（读作根号a）

即：

“±”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；

“”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。

其中a叫做被开方数。

∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：

a≥0。

四、开平方：

求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。

其实质就是：

已知指数和二次幂求底数的运算。

五、立方根

1、立方根的定义：

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。

（也叫做三次方根）

即：

若x3=a，则x叫做a的立方根。

2、立方根的性质：

（1）一个正数的立方根为正；

（2）一个负数的立方根为负；

（3）零的立方根是零。

3、立方根的记号：

（读作：

三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。

中的被开方数a的取值范围是：

a为全体实数。

六、开立方：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

其实质就是：

已知指数和三次幂求底数的运算。

七、注意事项：

1、“±”、“”、“”的实质意义：

“±”→问：

哪个数的平方是a；

“”→问：

哪个非负数的平方是a；

“”→问：

哪个数的立方是a。

2、注意和中的a的取值范围的应用。

如：

若有意义，则x取值范围是。

（∵x-3≥0，∴x≥3）（填：

x≥3）

若有意义，则x取值范围是。

（填：

全体实数）

3、。

如：

∵，，∴

4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。

如：

等。

2和3怎么比较大小？

（你知道吗？

不知道就问！

！

！

！

！

！

！

）

5、算数平方根取值范围的确定方法：

关键：

找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。

如：

确定的取值范围。

∵＜＜，∴2＜＜3。

6、几个常见的算数平方根的值：

，，，，。

八、补充的二次根式的部分内容

1、二次根式的定义：

形如（a≥0）的式子，叫做二次根式。

2、二次根式的性质：

（1）（a≥0，b≥0）；

（2）（a≥0，b＞0）；

（3）（a≥0）；

（4）

3、二次根式的乘除法：

（1）乘法：

（a≥0，b≥0）；

（2）除法：

（a≥0，b＞0）。

§12.2实数与数轴

一、无理数

1、无理数定义：

无限不循环小数叫做无理数。

2、常见的无理数：

（1）开方开不尽的数。

如：

，等。

（2）“”类的数。

如：

，，，，等。

（3）无限不循环小数。

如：

2.1010010001……，-0.234242242224……，等

二、实数

1、实数定义：

有理数与无理数统称为实数。

2、与实数有关的概念：

（1）相反数：

实数a的相反数为-a。

若实数a、b互为相反数，则a+b=0。

（2）倒数：

非零实数a的倒数为（a≠0）。

若实数a、b互为倒数，则ab=1。

（3）绝对值：

实数a的绝对值为：

3、实数的运算：

有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。

4、实数的分类：

（1）按照正负性分为：

正实数、零、负实数三类。

（2）按照定义分为：

5、几个“非负数”：

（1）a2≥0；

（2）|a|≥0；（3）≥0。

6、实数与数轴上的点是一一对应关系。

第13章整式的乘除

§13.1幂的运算

一、同底数幂的乘法

1、法则：

am·an·ap·……=am+n+p+……（m、n、p……均为正整数）

文字：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：

2·3·4=2+3+4=9；（-2）2·（-2）3=（-2）2+3=（-2）5=-25；

（）3·（）4=（）3+4=（）7；（a+b）3·（a+b）4·（a+b）=（a+b）3+4+1=（a+b）8

（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。

（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。

二、幂的乘方

1、法则：

（am）n=amn（m、n均为正整数）。

推广：

｛[（am）n]p｝s=amnps

文字：

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：

（2）3=2×3=6；[（）3]4=（）3×4=（）12；[（a-b）2]4=（a-b）2×4=（a-b）8

（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：

amn=（am）n，如：

a15=（a3）5=（a5）3

三、积的乘方

1、法则：

（ab）n=anbn（n为正整数）。

推广：

（acde）n=ancndnen

文字：

积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。

2、注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：

（2）3=222=42；（×）2=（）2×（）2=2×3=6；

（-2abc）3=（-2）3a3b3c3=-8a3b3c3；[（a+b）（a-b）]2=（a+b）2（a-b）2

（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：

anbn=（ab）n；如：

23×33=（2×3）3=63，（x+y）2（x-y）2=[（x+y）（x-y）]2

四、同底数幂的除法

1、法则：

am÷an=am-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）

文字：

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：

4÷3=4-3=；（-2）5÷（-2）3=（-2）5-3=（-2）2=4；

（）6÷（）4=（）6-4=（）2=2；（a+b）16÷（a+b）14=（a+b）16-14=（a+b）2=a2+2ab+b2

（2）注意a≠0这个条件。

（3）注意该法则的逆应用，即：

am-n=am÷an；如：

ax-y=ax÷ay，（x+y）2a-3=（x+y）2a÷（x+y）3

§13.2整式的乘法

一、单项式与单项式相乘

法则：

单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。

如：

（-5a2b2）·（-4b2c）·（-ab）=[（-5）×（-4）×（-）]·（a2·a）·（b2·b2）·c=-30a3b4c

二、单项式与多项式相乘

法则：

（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：

（-3x2）·（-x2）+（-3x2）·2x一（-3x2）·1=

三、多项式与多项式相乘

法则：

（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：

（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb

（2）把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。

如：

（m+n）（a+b）=（m+n）a+（m+n）b=ma+na+mb+nb

§13.3乘法公式

一、两数和乘以这两数的差

1、公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2；名称：

平方差公式。

2、注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：

（10+9）（10-9）=102-92=100-81=19；

（2xy+a）（2xy-a）=（2xy）2-a2=4x2y2-a2；

（a+b+）（a+b-）=（2xy）2-a2=4x2y2-a2；

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。

（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。

二、完全平方公式

1、公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2；名称：

完全平方公式。

2、注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：

（+3）2=（）2+2××3+32=2+6+9=11+6；

（mn-a）2=（mn）2-2mn·a+a2=m2n2-2mna+a2；

（a+b-）2=（a+b）2-2（a+b）+2=a2+2ab+b2-2a-b+2；

（2）注意公式运用时的对位“套用”；

（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。

3、补充公式：

（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2bc+2ca

特别提醒：

利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：

“一看二套三计算”。

§13.4整式的除法

一、单项式除以单项式

法则：

单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

如：

-21a2b3c÷3ab=（-21÷3）·a2-1·b3-1·c=-7ab2c

（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3=8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3=[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3=（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y2

5（2a+b）4÷（2a+b）2=（5÷1）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2

二、多项式除以单项式

法则：

（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。

如：

（21x4y3-35x3y2+7x2y2）÷（-7x2y）=21x4y3÷（-7x2y）-35x3y2÷（-7x2y）+7x2y2÷（-7x2y）=-3x2y2+5xy-y

[4y（2x-y）-2x（2x-y）]÷（2x-y）=4y（2x-y）÷（2x-y）-2x（2x-y）]÷（2x-y）=4y-2x

◇整式的运算顺序：

先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。

§13.5因式分解

一、因式分解的定义：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。

（分解因式）

因式分解与整式乘法互为逆运算

二、提取公因式法：

把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

△公因式定义：

多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。

△具体步骤：

（1）“看”。

观察各项是否有公因式；

（2）“隔”。

把每项的公因式“隔离”出来；

（3）“提”。

按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。

△（a-b）2n=（b-a）2n（n为正整数）；（a-b）2n+1=-（b-a）2n+1（n为正整数）；

如：

8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a（4ab-2b+1）；-5a2+25a=-5a·a+5a·5=-5a（a+5）

（注意：

凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。

）

三、公式法：

利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。

1、平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）；名称：

平方差公式。

△注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：

102-92=（10+9）（10-9）=19×1=19；4x2