数值分析第四版课后习题答案李庆扬文档格式.docx
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可知,,,即
从而,因此计算过程不稳定。
12、计算,取,利用下列公式计算,哪一个得到的结果最好?
,,,。
[解]因为,所以对于,
,有一位有效数字;
对于,
,没有有效数字;
对于,,没有有效数字。
13、,求的值。
若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?
若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大?
[解]因为(六位有效数字),,所以
。
14、试用消元法解方程组,假定只有三位数计算,问结果是否可靠?
[解]精确解为。
当使用三位数运算时,得到,结果可靠。
15、已知三角形面积,其中c为弧度,,且测量a,b,c的误差分别为,证明面积的误差满足。
[解]因为,
所以。
第二章插值法
1、根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令
,证明是n次多项式,它的根是,且。
[证明]由可得求证。
2、当时,,求的二次插值多项式。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.357765
-0.223144
[解]若取,,
则,,则
从而。
若取,,,则,
,,则
4、给出的函数表,步长,若函数具有5位有效数字,研究用线性插值求近似值时的总误差界。
[解]设插值节点为,对应的值为,函数表值为,则由题意可知,,,近似线性插值多项式为,所以总误差为
,从而
5、设,求。
令,则
,从而极值点可能为
,又因为
显然,所以
6、设为互异节点,求证:
1);
2);
[解]1)因为左侧是的n阶拉格朗日多项式,所以求证成立。
2)设,则左侧是的n阶拉格朗日多项式,令,即得求证。
7、设且,求证。
[解]见补充题3,其中取即得。
8、在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长h应取多少?
[解]由题意可知,设x使用节点,,进行二次插值,则插值余项为,
令,则,从而的极值点为,故,而
,要使其不超过,则有
,即。
9、若,求及。
10、如果是m次多项式,记,证明的k阶差分是次多项式,并且(l为正整数)。
[证明]对k使用数学归纳法可证。
11、证明。
[证明]。
12、证明。
[证明]因为
,故得证。
13、证明:
14、若有n个不同实根,证明
[证明]由题意可设,故
,再由差商的性质1和3可知:
,从而得证。
15、证明n阶均差有下列性质:
1)若,则;
2)若,则。
[证明]1)。
2)。
16、,求,。
[解],。
17、证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。
[解]见P30与P33,误差限为。
18、XXXXXXXXXX.
19、求一个次数不高于4次的多项式,使它满足,,。
[解]设,则,再由,,可得:
解得。
从而
20、设,把分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数,并证明当时,在上一致收敛到。
[解]令。
21、设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点中点处的与的值,并估计误差。
[解]由题意可知,,从而当时,
22、求在上的分段线性插值函数,并估计误差。
[解]设将划分为长度为h的小区间,则当,时,
从而误差为,
故。
23、求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差。
24、给定数据表如下:
0.25
0.30
0.39
0.45
0.53
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条函数,并满足条件:
[解]由,,,,及(8.10)式可知,,,
,,
由(8.11)式可知,
1)矩阵形式为:
,解得
,从而。
2)此为自然边界条件,故
;
矩阵形式为:
,可以解得,从而。
25、若,是三次样条函数,证明
2)若,式中为插值节点,且
则。
[解]1)。
2)由题意可知,,所以
补充题:
1、令,,写出的一次插值多项式,并估计插值余项。
[解]由,可知,
余项为,
2、设,试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理,有
3、设在内有二阶连续导数,求证:
[证]因为是以a,b为插值节点的的线性插值多项式,利用插值多项式的余项定理,得到:
4、设,求差商,,和。
[解]因为,,
,所以,,
,。
5、给定数据表:
1
2
4
6
7
求4次牛顿插值多项式,并写出插值余项。
[解]
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
-3
由差商表可得4次牛顿插值多项式为:
,插值余项为
6、如下表给定函数:
3
11
18
27
试计算出此列表函数的差分表,并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。
[解]构造差分表:
5
9
由差分表可得插值多项式为:
第三章函数逼近与计算
1、(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式;
(b)对在上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。
[解](a)令,则,从而伯恩斯坦多项式为
,其中。
(b)令,则,从而伯恩斯坦多项式为
2、求证:
(a)当时,;
(b)当时,。
[证明](a)由及可知,
而,从而得证。
(b)当时,
3、在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式。
[解]由可知,,从而最小偏差为1,交错点为,此即为的切比雪夫交错点组,从而是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式,可得。
4、假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式。
[解]令,,则在上具有最小偏差,从而为零次最佳逼近一次多项式。
5、选择常数a,使得达到极小,又问这个解是否唯一?
[解]因为是奇函数,所以,再由定理7可知,当时,即时,偏差最小。
6、求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差。
[解]由可得,从而最佳一次逼近多项式为
7、求在上的最佳一次逼近多项式。
8、如何选取r,使在上与零偏差最小?
r是否唯一?
[解]由,可知当与零偏差最小时,,从而。
另解:
由定理7可知,在上与零偏差最小的二次多项式为,从而。
9、设,在上求三次最佳逼近多项式。
[解]设所求三次多项式为,则由定理7可知
10、令,求、、、。
[解]由可知,令,则
11、试证是在上带权的正交多项式。
?
12、在上利用插值极小化求的三次近似最佳逼近多项式。
[解]由题意可知,插值节点为,
即,则可求得。
13、设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数,使得
[证明]由题意可知,,从而取
,,则可得求证。
14、设在上,试将降低到3次多项式并估计误差。
[解]因为,,所以
误差为。
15、在利用幂级数项数节约求的3次逼近多项式,使误差不超过0.005。
[解]因为,取前三项,得到
,误差为,又因为
,所以3次逼近多项式为
,此时误差为
16、是上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数。
[解]的最佳逼近多项式是由切比雪夫多项式得到的,再由切比雪夫多项式的性质4即得。
17、求a、b使为最小,并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较。
[解]由,,,,
,可得
,解得。
18、,定义
(a);
(b)。
问它们是否构成内积?
[解](a)因为,但反之不成立,所以不构成内积。
(b)构成内积。
19、用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果。
因为,所以。
20、选择a,使下列积分取最小值:
[解],从而。
当时,,当时,由,可得交点为,
若,则,
若,则
同理可知,当时,,当时,,从而当时,积分取得最小。
21、设,,分别在上求一元素,使其为的最佳平方逼近,并比较其结果。
[解]由,,,可知,
,解得,即在上为。
由,,,
22、在上,求在上的最佳平方逼近。
[解]由,,
可知,,解得。
从而最佳平方逼近多项式为。
23、是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系
[证明]令,则
24、将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差。
[解]若按照切比雪夫多项式展开,其中
若按照勒让德多项式展开,
,其中;
从而三次最佳逼近多项式为
25、把在上展成切比雪夫级数。
26、用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据相拟合,并求均方误差。
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
[解]由。
又,
故法方程为,解得。
均方误差为。
27、观测物体的直线运动,得出以下数据:
时间t(秒)
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s(米)
10
30
50
80
110
[解]设直线运动为二次多项式,则由
故