数值分析第四版课后习题答案李庆扬文档格式.docx

1、可知，即从而，因此计算过程不稳定。12、计算，取，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？，。解因为，所以对于，有一位有效数字；对于，没有有效数字；对于，没有有效数字。13、，求的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式计算，求对数时误差有多大？解因为（六位有效数字），所以。14、试用消元法解方程组，假定只有三位数计算，问结果是否可靠？解精确解为。当使用三位数运算时，得到，结果可靠。15、已知三角形面积，其中c为弧度，且测量a，b，c的误差分别为，证明面积的误差满足。解因为，所以。第二章 插值法1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令，证明是n次多项式，它的根是，且。

2、证明由可得求证。2、当时，求的二次插值多项式。3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。X0.40.50.60.70.8-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144解若取，则，则从而。若取，则，则4、给出的函数表，步长，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。解设插值节点为，对应的值为，函数表值为，则由题意可知，近似线性插值多项式为，所以总误差为，从而5、设，求。令，则，从而极值点可能为，又因为显然，所以6、设为互异节点，求证：1）；2）；解1）因为左侧是的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。2）设，则左侧是的n阶拉格朗日

3、多项式，令，即得求证。7、设且，求证。解见补充题3，其中取即得。8、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？解由题意可知，设x使用节点，进行二次插值，则插值余项为，令，则，从而的极值点为，故，而，要使其不超过，则有，即。9、若，求及。10、如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且（l为正整数）。证明对k使用数学归纳法可证。11、证明。证明。12、证明。证明因为，故得证。13、证明：14、若有n个不同实根，证明证明由题意可设，故，再由差商的性质1和3可知：，从而得证。15、证明n阶均差有下列性质：1）若，则；2）若，则。证明

4、1）。2）。16、，求，。解，。17、证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。解见P30与P33，误差限为。18、XXXXXXXXXX19、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，。解设，则，再由，可得：解得。从而20、设，把分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数，并证明当时，在上一致收敛到。解令。21、设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点中点处的与的值，并估计误差。解由题意可知，从而当时，22、求在上的分段线性插值函数，并估计误差。解设将划分为长度为h的小区间，则当，时，从而误差为，故。23、求在上的分段埃尔米特插值，并估计误差。24、给

5、定数据表如下：0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条函数，并满足条件：解由，及（8.10）式可知，由（8.11）式可知，1）矩阵形式为：，解得，从而。2）此为自然边界条件，故；矩阵形式为：，可以解得，从而。25、若，是三次样条函数，证明2）若，式中为插值节点，且则。解1）。2）由题意可知，所以补充题：1、令，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。解由，可知，余项为，2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。解由插值余项定理，有3、设在内有二阶连续导数，求证：证因为是以a，b为插值节点的的线性插值

6、多项式，利用插值多项式的余项定理，得到：4、设，求差商，和。解因为，所以，。5、给定数据表：12467求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。解一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商-3由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为6、如下表给定函数：3111827试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。解构造差分表：59由差分表可得插值多项式为：第三章 函数逼近与计算1、（a）利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式；（b）对在上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。解（a）令，则，从而伯恩斯坦多项式为，其中。（b）令，则，从而伯

7、恩斯坦多项式为2、求证：（a）当时，；（b）当时，。证明（a）由及可知，而，从而得证。（b）当时，3、在次数不超过6的多项式中，求在的最佳一致逼近多项式。解由可知，从而最小偏差为1，交错点为，此即为的切比雪夫交错点组，从而是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得。4、假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式。解令，则在上具有最小偏差，从而为零次最佳逼近一次多项式。5、选择常数a，使得达到极小，又问这个解是否唯一？解因为是奇函数，所以，再由定理7可知，当时，即时，偏差最小。6、求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。解由可得，从而最佳一次逼近多项式为7、求在上的最佳一次逼近多项式。8、如何选取

8、r，使在上与零偏差最小？r是否唯一？解由，可知当与零偏差最小时，从而。另解：由定理7可知，在上与零偏差最小的二次多项式为，从而。9、设，在上求三次最佳逼近多项式。解设所求三次多项式为，则由定理7可知10、令，求、。解由可知，令，则 11、试证是在上带权的正交多项式。？12、在上利用插值极小化求的三次近似最佳逼近多项式。解由题意可知，插值节点为，即，则可求得。13、设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为，若有界，证明对任何，存在常数，使得证明由题意可知，从而取，则可得求证。14、设在上，试将降低到3次多项式并估计误差。解因为，所以误差为。15、在利用幂级数项数节约求的3次逼近多项式，使误差不超过

9、0.005。解因为，取前三项，得到，误差为，又因为，所以3次逼近多项式为，此时误差为16、是上的连续奇（偶）函数，证明不管n是奇数或偶数，的最佳逼近多项式也是奇（偶）函数。解的最佳逼近多项式是由切比雪夫多项式得到的，再由切比雪夫多项式的性质4即得。17、求a、b使为最小，并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较。解由，可得，解得。18、，定义（a）；（b）。问它们是否构成内积？解（a）因为，但反之不成立，所以不构成内积。（b）构成内积。19、用许瓦兹不等式（4.5）估计的上界，并用积分中值定理估计同一积分的上下界，并比较其结果。因为，所以。20、选择a，使下列积分取最小值：解，从而。当时，当时

10、，由，可得交点为，若，则，若，则同理可知，当时，当时，从而当时，积分取得最小。21、设，分别在上求一元素，使其为的最佳平方逼近，并比较其结果。解由，可知，解得，即在上为。由，22、在上，求在上的最佳平方逼近。解由，可知，解得。从而最佳平方逼近多项式为。23、是第二类切比雪夫多项式，证明它有递推关系证明令，则24、将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形，再计算均方误差。解若按照切比雪夫多项式展开，其中若按照勒让德多项式展开，其中；从而三次最佳逼近多项式为25、把在上展成切比雪夫级数。26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。192531384419.032.349.073.397.8解由。又，故法方程为，解得。均方误差为。27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0.91.93.03.95.0距离s（米）10305080110解设直线运动为二次多项式，则由故