学年新教材高中数学 模块复习课学案 新人教B版第Word文件下载.docx

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单调增区间：

[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z；

[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.

3.正切函数

（1）定义域：

.

，k∈Z.

4．对于y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>

0，ω>

0），应明确A，ω决定“形变”，φ，k决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．

5．由已知函数图像求函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0）的解析式时常用的解题方法是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ.但由图像求得的y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0）的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解．否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．

三、平面向量的数量积

1.两个向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．

（1）两个向量的夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．

（2）当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.

2.向量数量积的定义

一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积（也称为内积），即a·

b＝|a||b|·

cos〈a，b〉．

（1）当〈a，b〉∈时，a·

b＞0;

当〈a，b〉＝时，a·

b＝0；

当〈a，b〉∈时，a·

b<

0.

（2）两个非零向量a，b的数量积的性质：

不等式

|a·

b|≤|a||b|

恒等式

a·

a＝a2＝|a|2，即|a|＝

向量垂直

的充要条件

a⊥b⇔a·

b＝0

3.向量的投影与向量数量积的几何意义

（1）设非零向量b所在的直线为l，向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．

（2）一般地，如果a，b都是非零向量，则|a|cos〈a，b〉为向量a在b上的投影的数量．

（3）两个非零向量a，b的数量积a·

b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．

四、向量的运算律与坐标运算

1.向量的运算律

（1）交换律：

a＋b＝b＋a，

b＝b·

a.

（2）结合律：

a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c，

a－b－c＝a－（b＋c）．

（λa）·

b＝λ（a·

b）＝a·

（λb）.

（3）分配律

（λ＋u）a＝λa＋ua，

λ（a＋b）＝λa＋λb，

（a＋b）·

c＝a·

c＋b·

c.

2.向量的坐标运算

已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）和实数λ，则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），

λa＝（λx1，λy1），a·

b＝x1x2＋y1y2，

|a|＝，a2＝x＋y，

a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

五、三角恒等变换

1.和角公式

（1）cos（α±

β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ.

（2）sin（α±

β）＝sin_αcos_β±

cos_αsin_β_.

（3）tan（α±

β）＝.

2.辅助角公式

f（x）＝asinx＋bcosx＝·

sin（x＋φ）．

3.倍角公式

（1）sin2α＝2sin_αcos_α，

（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，

（3）tan2α＝.

4．半角公式

sin＝±

，cos＝±

，

tan＝±

＝＝.

5．积化和差公式

cosαcosβ＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]；

sinαsinβ＝－[cos（α＋β）－cos（α－β）]；

sinαcosβ＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]；

cosαsinβ＝[sin（α＋β）－sin（α－β）]．

6．和差化积公式

sinx＋siny＝2sincos；

sinx－siny＝2cossin；

cosx＋cosy＝2coscos；

cosx－cosy＝－2sinsin.

1.钝角是第二象限角．（√）

[提示]　钝角的范围是大于90°

而小于180°

，始边与x轴正半轴重合时，终边落在第二象限，因此钝角是第二象限角．

2.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关．

（×

）

[提示]　根据角度、弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以错误．

3.已知α是三角形的内角，则必有sinα>

0.（√）

[提示]　当α为三角形的内角时，0°

<

α<

180°

，由三角函数的定义知sinα>

4．三角函数线的长度等于三角函数值．（×

[提示]　三角函数线表示轴上的向量，不仅有大小，也有方向，三角函数线的方向表示三角函数值的正负．

5．对任意角α，＝tan都成立．（×

[提示]　由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以错误．

6．若cosα＝0，则sinα＝1.（×

[提示]　由同角三角函数关系式sin2α＋cos2α＝1知，当cosα＝0时，sinα＝±

1.

7．诱导公式中角α是任意角．（×

[提示]　正余弦函数的诱导公式中，α为任意角但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．

8．若sin<

0，且cos>

0，则θ是第一象限角．（×

[提示]　由题意得，所以θ为第二象限角．

9．画正弦函数图像时，函数自变量通常用弧度制表示．（√）

[提示]　在平面直角坐标系中画y＝sinx（x∈R）的图像自变量x为实数，通常用弧度表示．

10．函数y＝3sin（2x－5）的初相为5.（×

[提示]　在y＝3sin（2x－5）中x＝0时的相位φ＝－5称为初相，故初相为－5.

11.由函数y＝sin的图像得到y＝sinx的图像，必须向左平移．

[提示]　由函数y＝sin的图像得到y＝sinx的图像，可以把y＝sin的图像向右平行移动得到y＝sinx的图像．

12.函数y＝sinx，x∈的图像与函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图像的形状完全一致．（√）

[提示]　由正、余弦曲线可知它们的图像形状一致．

13.将函数y＝sinx的图像向左平移个单位，得到函数y＝cosx的图像．（√）

[提示]　函数y＝sinx的图像向左平移个单位，得到函数y＝sin的图像，因为y＝sinx＋＝cosx，故正确．

14．正切函数在整个定义域上是增函数．（×

[提示]　正切函数的定义域为k∈Z，只能说正切函数在每一个开区间，k∈Z上为增函数，不能说它在整个定义域上为增函数．

15．若sinα＝，且α∈，则α可表示为α＝＋arcsin.（×

[提示]　∵α∈，

∴π－α∈.

∵sinα＝sin（π－α）＝，

∴π－α＝arcsin，

∴α＝π－arcsin.

16．已知a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），若a∥b，则必有a1b2＝a2b1.（√）

[提示]　若a∥b，则a1b2－a2b1＝0即a1b2＝a2b1.

17．若a·

c，则一定有a＝c.（×

[提示]　当b＝0时，满足a·

c，但不一定有a＝c.

18．若a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.（×

[提示]　当a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），且a，b为非零向量时，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.

19．对于任意实数α，β，cos（α＋β）＝cosα＋cosβ都不成立．（×

[提示]　当α＝，β＝－时，cos（α＋β）＝1，cosα＋cosβ＝1，此时cos（α＋β）＝cosα＋cosβ.

20．对于任意α∈R，sin＝sinα都不成立．（×

[提示]　当α＝2kπ（k∈Z）时，上式成立，但一般情况下不成立．

21.tan＝，只需要满足α≠2kπ＋π，（k∈Z）．（√）

[提示]　tan中，≠kπ＋即α≠2kπ＋π，（k∈Z），

中，cosα≠－1即α≠2kπ＋π，（k∈Z）．

22.若x＋y＝1，则sinx＋siny≥1.（×

[提示]　∵sinx＋siny＝2sincos

＝2sincos，又0<

，∴sin<

sin.

∴2sin<

2sin＝1，∴sinx＋siny

＝2sincos<

cos≤1.

∴sinx＋siny<

1.（2019·

全国卷Ⅱ）下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（　　）

A．f（x）＝|cos2x|　　B．f（x）＝|sin2x|

C．f（x）＝cos|x|　D．f（x）＝sin|x|

A　[f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；

f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；

f（x）＝|sin2x|在处取得最大值，不可能在区间单调递增，可排除B．故选A．]

2.（2018·

全国卷Ⅲ）若sinα＝，则cos2α＝（　　）

A．　　　B．　　　C．－　　　D．－

B　[cos2α＝1－2sin2α＝1－2×

＝.]

3.（2018·

全国卷Ⅱ）已知向量a，b满足|a|＝1，a·

b＝－1，则a·

（2a－b）＝（　　）

A．4B．3

C．2D．0

B　[因为a·

（2a－b）＝2a2－a·

b＝2|a|2－（－1）＝2＋1＝3，所以选B．]

4．（2018·

全国卷Ⅱ）若f（x）＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是（　　）

A．B．

C．D．π

A　[f（x）＝cosx－sinx＝cos，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f（x）在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0＜a≤，所以a的最大值是，故选A．]

5．（2017·

全国卷Ⅰ）已知曲线C1：

y＝cosx，C2：

y＝sin2x＋，则下面结论正确的是（　　）

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2