完整升级版八年级北师大九年级数学教案Word下载.docx
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♦本套教材选用如下命题作为公理:
♦1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
♦2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
♦3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;
(SAS)
♦4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;
(ASA)
♦5.三边对应相等的两个三角形全等;
(SSS)
♦6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论:
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
证明过程:
已知:
∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF
求证:
△ABC≌△DEF
证明:
∵∠A+∠B+∠C=180°
,
∠D+∠E+∠F=180°
(三角形内角和等于180°
∴∠C=180°
-(∠A+∠B)
∠F=180°
-(∠D+∠E)
又∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知)
∴∠C=∠F
又∵BC=EF(已知)
∴△ABC≌△DEF(ASA)
定理:
等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为:
等边对等角。
如图,在ABC中,AB=AC。
∠B=∠C
取BC的中点D,连接AD。
∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABC△≌△ACD(SSS)
∴∠B=∠C(全等三角形的对应边角相等)
(让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。
做∠BAC的平分线,交BC边于D;
过点A做AD⊥BC。
。
学生指出该定理的条件和结论,写出已知、求证,画出图形,并选择一种方法进行证明。
想一想:
在上图中,线段AD还具有怎样的性质?
为什么?
由此你能得到什么结论?
(应让学生回顾前面的证明过程,思考线段AD具有的性质和特征,讨论图中存在的相等的线段和相等的角,发现等腰三角形性质定理的推论,从而得到结论,这一结合通常简述为“三线合一”。
推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
随堂练习:
做教科书第4页第1,2题。
(引导学生分析证明方法,学生动手证明,写出证明过程。
六、课堂小结:
通过这节课的学习你学到了什么知识?
(学生小结:
通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。
经历“探索-发现-猜想-证明”的过程。
探体会了反证法的含义。
七、作业:
1、基础作业:
P5页习题1.11、2。
2、拓展作业:
《目标检测》3、预习作业:
P5-6页议一议
八、板书设计:
九、课后记:
§
1.1、你能证明它们吗
(二)
1、进一步了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。
能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线(高)、两底角的平分线相等,并由特殊结论归纳出一般结论。
3、能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。
4、了解反证法的推理方法。
5、会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。
正确叙述结论及正确写出证明过程。
熟悉作为证明基础的几条公理的内容,通过学习,掌握证明的基本步骤和书写格式。
等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。
三、教学方法:
探究式教学法自主探究与合作探究
四、教学过程:
复习回顾:
你知道等腰三角形具有怎样的性质吗?
、
探索——发现——猜想——证明
1、引导探索:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的性质,那么,两底角的平分线、两腰上的中线和高线又具有怎样的性质呢?
(提出问题,激发学生探究的欲望。
学生猜想)
2、探究中发现:
在等腰三角形中做出两底角的平分线,你会发现图中有那些相等的线段?
你能用文字叙述你的结论吗?
(学生动手画图、探索发现相等的线段并思考为什么相等)
3、证明:
(1)例1证明:
等腰三角形两底角的平分线相等。
(引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。
如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是
△ABC的角平分线。
BD=CE(一生口述证明过程,然后写出证明过程。
(略)
此题还有其它的证法吗?
(2)你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗?
高呢?
(引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。
其它证法合作交流完成。
4、议一议1:
在上图的等腰△ABC中,如果∠ABD=1/3∠ABC,∠ACE=1/3∠ACB,那么BD=CE吗?
如果∠ABD=1/4∠ABC,∠ACE=1/4∠ACB呢?
由此你能得到一个什么结论?
(根据图形引导学生分析归纳得出一般结论。
学生分组思考、交流,在充分讨论的基础上得出一般结论写出证明过程。
(3)如果AD=1/2AC,AE=1/2AB,那么BD=CE吗?
如果AD=1/3AC,AE=1/3AB,呢?
议一议2:
把“等边对等角”反过来还成立吗?
你能证明?
定理证明
在ΔABC中∠B=∠C
AB=AC(引导学生证明定理)
方法如下:
(课堂小结1:
(1)归纳判定等腰三角形判定有几种方法,
(2)证明两条线段相等的方法有哪几种。
(讨论、交流)
在ΔABC中,AB=AC,D在AB上,DE∥AC
DB=DE
想一想:
小明说,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等,你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它?
证明P8
反证法的概念P8
课堂小结2:
了解了什么证明方法?
掌握证明的基本步骤和书写格式。
等腰三角形的判定定理。
了解反证法的推理方法。
五、作业:
P9页习题1.21、2、3。
《目标检测》
3、预习作业:
P10-12页做一做
六、板书设计:
七、课后记:
1.1你能证明他们吗?
(第三课时)
1、进一步学习证明的基本步骤和书写格式。
2、掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理。
二、教学重点、难点:
关于综合法在证明过程中的应用。
三、教学过程:
温故知新
1、已知:
∠ABC,∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E
(1)找出图中的等腰三角形
(2)BD,CE,DE之间存在着怎样的关系?
(3)证明以上的结论。
2、复习关于反证法的相关知识
练习:
在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°
(笔试,进一步巩固学习证明的基本步骤和书写格式)
学一学
1、探索问题:
①一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?
②你认为有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形吗?
你能证明你的思路吗?
(把你的思路与同伴进行交流。
定理:
有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形。
2、做一做:
用两个含30°
角的三角尺,能拼成一个怎样的三角形?
能拼成一个等边三角形吗?
说说你的理由。
由此你能想到,在直角三角形中,30°
角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
能证明你的结论吗?
(提示学生根据两个三角尺拼出的图形发现结论,并证明)
在△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=30°
,则∠B=60°
延长BC至D,使CD=BC,连接AD
∵∠ACB=90°
∴∠ACD=90°
∵AC=AC
∴△ABC≌△ADC(SSS)
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)
∴△ABD是等边三角形
∴BC=BD=AB
得到的结论:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3、例题学习
等腰三角形的底角为15°
,腰长为2a,求腰上的高。
已知:
在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°
度,CD是腰AB上的高
求:
CD的长
解:
∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°
+15°
=30°
∴CD=AC=×
2a=a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半)
4、练习:
课本12页随堂练习1
四、课堂小结:
掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理)
P13页习题1.31、2、3题
P15-17页读一读“勾股定理的证明”
直角三角形(第一课时)
教学目标:
1、进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力。
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能,能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。
3、结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立。
教学过程:
引入:
我们曾经利用数方格和割补图形的方未能得到了勾股定理。
实际上,利用公理及其推导出的定理,我们能够证明勾股定理。
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如图,在△ABC中,∠C=90°
,BC=a,AC=b,AB=c,
延长CB至点D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=c,连接ED、AE,则△ABC≌△BED。
∴∠BDE=90°
,ED=a(全等三角形的对应角相等,对应边相等)。
∴四边形ACDE是直角梯形。
∴S梯形ACDE=(a+b)(a-b)=(a+b)2
∴∠ABE=180°
-∠ABC-∠EBD=180°
-90°
=90°
AB=BE
∴S△ABC=c2
∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED,
∴(a+b)2=c2+ab+ab即a2+ab+b2=c2+ab+ab
∴a2+b2=c2
反过来,在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论,你能证明这个结论吗?
如图,在△ABC,AB2+AC2=BC2,求证:
△ABC是直角三角形。
作出Rt△A’B’C’,使∠A=90°
,A’B’=AB,A’C’=AC,则
A’B’2+A’C’2=B’C’2(勾股定理