立体几何大题练习文科Word文档下载推荐.docx

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由余弦定理可得AD==ａ，

则BＤ⊥AD，

由面SAD⊥底面AＢCD.可得BD⊥平面ＳＡD，

又BD⊂平面SBD,可得平面SBD⊥平面SAD;

（2）解：

∠SDA=1２0°

且三棱锥S﹣BCＤ的体积为,

由AＤ=ＳD=ａ,

在△SAD中,可得SＡ=2SＤｓｉn60°

＝a，

△SAD的边AD上的高SＨ=SDｓiｎ60°

由SH⊥平面BCD,可得

×

a×

a2=,

解得a=１，

由BD⊥平面ＳAD，可得BＤ⊥SD，

SB==＝2a,

又AＢ＝2ａ，

在等腰三角形SBA中,

边SA上的高为=a,

则△SAＢ的面积为×

ＳA×

ａ＝a＝．

【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用,注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题．

2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥ＡD，ＢＣ⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、Ｆ（E与Ａ、Ｄ不重合）分别在棱AD,ＢD上，且EF⊥AD.

求证：

（1）EF∥平面AＢC;

（2）AD⊥AC．

（1）利用ＡＢ∥EF及线面平行判定定理可得结论；

（２）通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FＧ∥BC,则EG∥ＡC,利用线面垂直的性质定理可知FＧ⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFＧ,从而可得结论.

【解答】证明：

（１）因为AB⊥AD，ＥＦ⊥ＡD，且A、Ｂ、Ｅ、F四点共面,

所以AＢ∥EF，

又因为EF⊂平面ABC，AＢ⊂平面ＡＢＣ,

所以由线面平行判定定理可知：

EF∥平面ABＣ；

（2）在线段CD上取点Ｇ,连结FG、ＥG使得ＦG∥BC,则ＥG∥AC，

因为ＢＣ⊥BD,FG∥BC,

所以ＦG⊥BD，

又因为平面ＡBD⊥平面BCD,

所以FG⊥平面ABＤ，所以FG⊥ＡD，

又因为ＡD⊥EF，且EF∩FG=Ｆ，

所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,

故AD⊥ＡＣ.

【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力，考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题.

3.如图,在三棱柱ＡＢＣ﹣A1Ｂ１C１中，CC1⊥底面ＡBC,AＣ⊥CB，点M和Ｎ分别是Ｂ１C1和BC的中点．

（1）求证:

MB∥平面ＡＣ1N;

（2）求证:

AＣ⊥MＢ．

（1）证明MC１ＮＢ为平行四边形,所以C1N∥MＢ，即可证明ＭB∥平面AＣ１N;

（2）证明ＡC⊥平面BCC1B1,即可证明AC⊥MB．

【解答】证明:

（1）证明:

在三棱柱ABC﹣A１B１C１中,因为点M，N分别是B1C1,BC的中点,

所以C１Ｍ∥BN,C１Ｍ=ＢN.

所以MＣ1NB为平行四边形.

所以C1N∥ＭB.

因为Ｃ1N⊂平面AC1Ｎ,MB⊄平面AC1N,

所以MB∥平面AC1N；

（2）因为ＣC１⊥底面AＢC，

所以AＣ⊥CＣ1.

因为AC⊥BC,ＢC∩CC1=C,

所以ＡＣ⊥平面ＢCC1B1．

因为MB⊂平面BＣC1B1,

所以AＣ⊥MB.

【点评】本题考查线面平行的判定,考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

4.如图，在四棱锥P﹣ABＣＤ中，底面ABCD为直角梯形,ＡD||BC，ＰD⊥底面ＡBCD，

∠ADC=90°

AD=２BＣ，Ｑ为AD的中点，Ｍ为棱PC的中点．

（Ⅰ）证明：

PA∥平面BMQ;

（Ⅱ）已知PD=ＤC＝ＡD＝２,求点Ｐ到平面BＭＱ的距离．

（1）连结ＡC交BQ于N，连结ＭN,只要证明ＭN∥PA，利用线面平行的判定定理可证;

（２）由

（1）可知，PA∥平面ＢMQ，所以点P到平面BＭQ的距离等于点Ａ到平面BMQ的距离.

【解答】解:

（１）连结AC交ＢQ于Ｎ，连结ＭN，因为∠ADC=90°

，Q为AＤ的中点，所以N为ＡC的中点．…（２分）

当M为PC的中点,即PM=ＭC时,MＮ为△PAC的中位线,

故ＭN∥ＰA,又MN⊂平面ＢMQ，所以PA∥平面BMＱ.…（５分）

（2）由

（1）可知,PA∥平面BＭＱ，所以点P到平面BMQ的距离等于点Ａ到平面BMＱ的距离,所以VP﹣BMQ=VA﹣ＢMQ=ＶＭ﹣ABQ,

取ＣＤ的中点K，连结MK，所以ＭＫ∥PD,,…（7分）

又PD⊥底面ＡBCD,所以MK⊥底面ABCD.

又，PD＝CＤ=2,所以ＡQ=1,BＱ=2，,…（１0分）

所以VＰ﹣ＢMＱ=VA﹣BMQ＝ＶM﹣ABQ＝.,…（11分）

则点P到平面BMＱ的距离ｄ＝…（12分）

【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离.

5.如图,在直三棱柱ABC﹣A1Ｂ１C１中,BＣ⊥AC,Ｄ，E分别是AB，ＡC的中点.

B1C１∥平面Ａ1DＥ;

（2）求证：

平面A1DE⊥平面ACＣ1A1．

（1）证明B１C１∥DE，即可证明Ｂ1Ｃ１∥平面A1DE；

（2）证明DE⊥平面ＡCC1A１,即可证明平面A1DE⊥平面AＣC１A1．

（1）因为D，E分别是ＡＢ，AＣ的中点，所以DE∥BC,…（2分）

又因为在三棱柱ABＣ﹣Ａ１B1C1中，Ｂ1C1∥BＣ，所以B1C１∥DE…（４分）

又B１C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A１DＥ,所以Ｂ1Ｃ1∥平面Ａ1DE…（6分）

（2）在直三棱柱ABC﹣Ａ1B1C１中,CC1⊥底面ABＣ，

又DE⊂底面AＢC，所以CC１⊥DE…（８分）

又BC⊥AC，ＤE∥BC，所以DE⊥AＣ,…（1０分）

又CＣ１，ＡC⊂平面ＡＣＣ１Ａ1，且CC1∩AＣ=C,所以ＤE⊥平面ACＣ1Ａ1…（12分）

又DE⊂平面A1DE，所以平面Ａ1DE⊥平面ACC1A1…（14分）

【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

6.在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ＡBCD,M,N分别是PＤ,PＡ的中点，AC⊥AＤ，∠ACＤ＝∠ＡＣB=60°

ＰC=AC.

PA⊥平面ＣMＮ;

AM∥平面PBＣ.

（1）推导出MN∥ＡD,PC⊥ＡD，AD⊥AC，从而ＡD⊥平面PAＣ，进而AD⊥PA,MN⊥PＡ，再由CＮ⊥ＰA，能证明PA⊥平面CMＮ.

（２）取CD的中点为Q,连结ＭQ、ＡQ,推导出ＭQ∥PＣ，从而MQ∥平面PBC，再求出AQ∥平面,从而平面ＡMＱ∥平面ＰCB，由此能证明AM∥平面PBC．

（１）∵M，Ｎ分别为PD、PA的中点,

∴ＭＮ为△ＰＡD的中位线，∴MN∥AD，

∵PC⊥底面ABCD,AD⊂平面ABCD，∴PC⊥AＤ,

又∵ＡＤ⊥AC,PC∩ＡＣ=C，∴AD⊥平面PAC,

∴AD⊥PA,∴MN⊥PＡ,

又∵PC=AC,N为PＡ的中点,∴CN⊥PA,

∵MN∩ＣN=N,ＭN⊂平面CMＮ，CM⊂平面CMN,

∴PＡ⊥平面CMN．

解（２）取CD的中点为Q,连结MＱ、AQ，

∵ＭＱ是△PCD的中位线，∴MＱ∥ＰC，

又∵ＰC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC,∴ＭQ∥平面PBC，

∵AD⊥AC，∠ＡＣＤ=60°

，∴∠AＤC＝30°

.

∴∠DＡQ=∠ＡDC=3０°

，∴∠ＱAC=∠ACQ=60°

∴∠ACB＝6０°

∴ＡQ∥BC，

∵AQ⊄平面ＰBC,BC⊂平面PBＣ，∴AQ∥平面PBC,

∵MQ∩AQ＝Q,∴平面ＡMQ∥平面PCB,

∵AM⊂平面ＡMQ,∴AM∥平面PBC.

【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题.

7.如图，在四棱锥P﹣ABＣD中，底面ABCＤ是边长为2的正方形，侧面ＰＡＤ⊥底面ABCD,且ＰA=ＰD＝AD,E、F分别为PC、BD的中点．

EF∥平面PAD；

面ＰＡB⊥平面PＤC．

（1）连接AC，则F是ＡＣ的中点，Ｅ为ＰＣ的中点,证明EF∥ＰA，利用直线与平面平行的判定定理证明EＦ∥平面PＡD；

（２）先证明CD⊥ＰA,然后证明ＰA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PＣD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．

（1）连接AC，由正方形性质可知,AC与BD相交于ＢＤ的中点F,F也为AC中点，E为PC中点.

所以在△CＰA中，EF∥ＰA,

又PＡ⊂平面ＰAＤ,EＦ⊄平面PAD，

所以ＥF∥平面ＰAD;

（2）平面PＡD⊥平面ABCD

平面ＰAD∩面ABＣD=AD⇒CD⊥平面PAＤ⇒CD⊥PA

正方形ＡBCD中CＤ⊥ADＰA⊂平面PADＣD⊂平面ＡBＣＤ

又,所以PＡ２＋ＰD2＝ＡD2

所以△PAD是等腰直角三角形,且，即PA⊥PＤ.

因为CD∩ＰD=D，且CD、ＰD⊂面ＰDC

所以PＡ⊥面PDＣ

又ＰA⊂面ＰＡB,

所以面PAB⊥面PDC.

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用,考查逻辑推理能力.

8．如图,在四棱锥P﹣ＡBＣＤ中，PA⊥平面ABCD,底面ＡBＣD为菱形,且PA=AD＝２,BＤ=2,E、Ｆ分别为AＤ、PC中点.

（１）求点Ｆ到平面PＡB的距离;

平面PCＥ⊥平面PＢＣ．

（1）取PB的中点Ｇ,连接FG、AG,证得底面ABCD为正方形.再由中位线定理可得FG∥AE且ＦＧ=AE,四边形AＥFG是平行四边形,则AＧ∥FＥ,运用线面平行的判定定理可得ＥＦ∥平面ＰAB,点F与点E到平面PAB的距离相等，运用线面垂直的判定和性质,证得AD⊥平面PAB，即可得到所求距离；

（2）运用线面垂直的判定和性质,证得BＣ⊥平面PAB，EF⊥平面PＢC，再由面面垂直的判定定理，即可得证．

（１）解:

如图,取PＢ的中点Ｇ，连接FG、AG，

因为底面ABCD为菱形，且ＰA=AD＝２,,

所以底面ABCＤ为正方形.

∵Ｅ、F分别为AD、PC中点,

∴FG∥BC,AE∥BC,,，

∴ＦG∥AE且FG=AE，

∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥FE,

∵AＧ⊂平面ＰAB，EF⊄平面ＰＡB，∴EF∥平面PAB,

∴点F与点E到平面ＰAB的距离相等,

由PＡ⊥平面ABCＤ，可得PA⊥ＡD,

又AD⊥AB，PＡ∩AB＝Ａ,

ＡＤ⊥平面PＡB,

则点F到平面PAB的距离为ＥA=1．

（２）证明：

由

（1）知AG⊥PＢ，AＧ∥EF，

∵ＰＡ⊥平面ＡBＣD,∴BC⊥PＡ，

∵BC⊥ＡＢ，AB∩BＣ＝B，∴ＢC⊥平面PＡB,

由ＡＧ⊂平面PAB，

∴BC⊥AＧ，又∵PB∩BC=B，

∴ＡG⊥平面ＰBＣ，∴EF⊥平面PBC,

∵EF⊂平面PCＥ,

∴平面PCE⊥平面PBC．

【点评】本题