最新全国初中数学联赛初二卷及详解资料Word格式.docx
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5.梯形ABCD中,AD∥BC,AB=3,BC=4,CD=2,AD=1,则梯形的面积为().
A.B.C.D.
6.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°
,点E在AB上,若AE=42,BE=28,BC=70,∠DCE=45°
,则DE的值为().
A.56B.58C.60D.62
二、填空题:
(本题满分28分,每小题7分)
7.使得等式成立的实数a的值为________.
8.已知△ABC的三个内角满足A<B<C<100°
.用θ表示100°
-C,C-B,B-A中的最小者,则θ的最大值为________.
9.设a,b是两个互质的正整数,且为质数.则p的值为________.
10.20个都不等于7的正整数排成一行,若其中任意连续若干个数之和都不等于7,则这20个数之和的最小值为________.
第二试
一、(本题满分20分)设A,B是两个不同的两位数,且B是由A交换个位数字和十位数字所得,如果A2-B2是完全平方数,求A的值.
二、(本题满分25分)如图,△ABC中,D为BC的中点,DE平分∠ADB,DF平分∠ADC,BE⊥DE,CF⊥DF,P为AD与EF的交点.证明:
EF=2PD.
三、(本题满分25分)已知a,b,c是不全相等的正整数,且为有理数,求的最小值.
2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案
答案:
B
对应讲次:
所属知识点:
方程
思路:
因为所求分式的特点可以想到把a+2b,3b+c看成一个整体变量求解方程.
解析:
已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90,3(a+2b)+(3b+c)=72,解得a+2b=18,3b+c=18,所以.
C
可以想到换元法.
设x=a+1,y=b+3,z=c+5,则x+y+z=10,,
∴xy+xz+yz=0,由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.
则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2=100.
3.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c),则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为().
数论
先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类,再通过枚举法一一验证.
若(a,b,c)为好数组,则abc=2(a+b+c)≤6c,即ab≤6,显然a=1或2.
若a=1,则bc=2(1+b+c),即(b-2)(c-2)=6,可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5),共2个好数组.
若a=2,则b=2或3,可得b=2,c=4;
b=3,c=,不是整数舍去,共1个好数组.
共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8)(1,4,5)(2,2,4).
4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0,-6a+b2+c=0,则a2+b2+c2的值为().
由已知等式消去c整理后,通过a,b是正整数的限制,枚举出所有可能,并一一代入原方程验证,最终确定结果.
联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75,则3(b-1)2≤75,即1≤b≤6.
当b=1,2,3,4,5时,均无与之对应的正整数a;
当b=6时,a=9,符合要求,此时c=18,代入验证满足原方程.
因此,a=9,b=6,c=18,则a2+b2+c2=441.
5.梯形ABCD中,AD∥BC,AB=3,BC=4,CD=2,AD=1,则梯形的面积为().
A
平面几何
通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.
作AE∥DC,AH⊥BC,则ADCE是平行四边形,则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB,
则△ABE是等腰三角形,BE=AB=3,AE=2,经计算可得.
所以梯形ABCD的面积为.
6.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°
补形法,把直角梯形先补成正方形,再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt△EAD中去,利用勾股定理求解.
作CF⊥AD,交AD的延长线于点F,将△CDF绕点C逆时针旋转90°
至△CGB,则ABCF为正方形,可得△ECG≌△ECD,∴EG=ED.
设DE=x,则DF=BG=x-28,AD=98-x.
在Rt△EAD中,有422+(98-x)2=x2,解得x=58.
8
通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式,再用换元法化简等式,最后要验证结果是否满足最初的等式.
易得.
令,则x≥0,代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0,解得x1=0,x2=3,x3=-1,舍负,即a=-1或8,验证可得a=8.
8.已知△ABC的三个内角满足A<B<C<100°
20°
代数
一般来说,求几个中最小者的最大值时,就是考虑这几个都相等的情况.
∵θ≤100°
-C,θ≤C-B,θ≤B-A∴θ≤[3(100°
-C)+2(C-B)+(B-A)]=20°
又当A=40°
B=60°
C=80°
时,θ=20°
可以取到.
则θ的最大值为20°
.
9.设a,b是两个互质的正整数,且为质数.则p的值为________.
7
因为p是质数,只能拆成1和p,另一方面通过a+b、a、b两两互质来拆分的可能种类,最后分类讨论,要么与条件矛盾,要么得出结果.
因为a,b互质,所以a+b、a、b两两互质,因为质数,所以可得a=b=1,p=4,不是质数舍;
可得a=7,b=1,p=7,符合题意.
则p=7.
34
考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求,其和为34,接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.
设该正整数列为,考虑,依抽屉原理必然有两项模7的余数相同,则该两项的差是7的倍数,于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数,又不能为7,则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28,剩下6个数之和不小于6,于是该数列之和不小于34.
由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知,存在数列和为34的情况.
65
对于需要考虑不同位数上数字的情况,可以把一个两位数设为10a+b,转为为代数问题,再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现,综合分析所有限定下可能性,最终确定结果.
设A=10a+b(1≤a,b≤9,a,b∈N),则B=10b+a,由A,B不同得a≠b,A2-B2=(10a+b)2-(10b+a)2=9×
11×
(a+b)(a-b).………5分
由A2-B2是完全平方数,则a>b,,可得a+b=11,………10分
a-b也是完全平方数,所以a-b=1或4.………15分
若a-b=1,则a=6,b=5;
若a-b=4,则没有正整数解.
因此a=6,b=5,A=65.………20分
8、你是如何得志DIY手工艺制品的?
因为EF、PD都在△DEF中,所以想办法推出其性质,比较容易得出∠EDF=90°
,此时若能得出EF=PD,则自然可以得到结论.
据统计,上海国民经济持续快速增长。
03全年就实现国内生产总值(GDP)6250.81亿元,按可比价格计算,比上年增长11.8%。
第三产业的增速受非典影响而有所减缓,全年实现增加值3027.11亿元,增长8%,增幅比上年下降2个百分点。
由DE平分∠ADB,DF平分∠ADC,可得∠EDF=90°
.………5分
营销环境信息收集索引由BE⊥DE得BE∥DF,则∠EBD=∠FDC.………10分
服饰□学习用品□食品□休闲娱乐□小饰品□又BD=DC,∠BED=∠DFC=90°
,则△BED≌△DFC,BE=DF.………15分
在上海,随着轨道交通的发展,地铁商铺应运而生,并且在重要的商业圈已经形成一定的气候,投资经营地铁商铺逐渐成为一大热门。
在人民广场地下“的美”购物中心,有一家DIY自制饰品店---“碧芝自制饰品店”。
得四边形BDFE是平行四边形,∠PED=∠EDB=∠EDP,EP=PD.………20分
又△EDF是直角三角形,∴EF=2PD.………25分
开了连锁店,最大的好处是让别人记住你。
“漂亮女生”一律采用湖蓝底色的装修风格,简洁、时尚、醒目。
“品牌效应”是商家梦寐以求的制胜法宝。
3
标题:
上海发出通知为大学生就业—鼓励自主创业,灵活就业2004年3月17日对应讲次:
通过a,b,c是正整数,可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到,可以通过分母有理化来实现分离,再利用a,b,c互不相等,从最小正整数开始讨论即可得出最小值.