中考数学总复习训练分类讨论型问题Word下载.docx
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把A(m,1)代入y=2kx中,得2km=1,即2k2=1,
∴k2=,∴k=±
.
4.⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有(D)
A.2个B.3个
C.4个D.5个
【解析】 OP为3时有一条,为4时有两条,为5时有两条,共5条.
(第5题)
5.如图,已知点A(-1,0)和点B(1,2),在坐标轴上确定点P,使得△ABP为直角三角形,那么满足这样条件的点P共有(C)
A.2个 B.4个
C.6个 D.7个
【解析】 当以AB为斜边时,∠APB=90°
,与坐标轴有3个交点;
当∠PAB=90°
时,与y轴有一个交点;
当∠PBA=90°
时,与x轴,y轴各有1个交点.∴点P共有6个.
6.如图,已知直线l的表达式是y=x-4,并且与x轴,y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的⊙C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当⊙C与直线l相切时,则该圆的运动时间为(D)
A.3s或6sB.6s
C.3sD.6s或16s
(第6题)
(第6题解)
【解析】 如解图.
∵当x=0时,y=-4;
当y=0时,x=3,
∴点A(3,0),B(0,-4),∴AB=5.
当点C在点B上方,直线与圆相切时,连结CD,
则点C到AB的距离等于1.5,
∴CB=1.5÷
sin∠ABC=1.5×
=2.5.
∴点C运动的距离为1.5+(4-2.5)=3,运动的时间为3÷
0.5=6(s).
同理,当点C在点B下方,直线与圆相切时,
连结CD,则点C运动的距离为1.5+(4+2.5)=8,运动的时间为8÷
0.5=16(s).
故选D.
(第7题)
7.如图,正方形ABCD的边长为4cm,动点P,Q同时从点A出发,以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动.设运动时间为x(s),四边形PBDQ的面积为y(cm2),则y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可以用图象表示为(B)
【解析】 当0≤x≤4时,∵正方形的边长为4cm,
∴y=S△ABD-S△APQ=×
4×
4-·
x·
x=8-x2;
当4<
x≤8时,y=S△BCD-S△CPQ=×
(8-x)·
(8-x)=8-(8-x)2.
∴y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示,纵观各选项,只有B选项符合.
(第8题)
8.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4,点E是折线段A-D-C上的一个动点(点E与点A不重合),点P是点A关于BE的对称点.在点E运动的过程中,使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有(C)
【解析】 分为三种情况:
①以BC为底时,有两个,是BC的垂直平分线与以B为圆心,BA为半径的圆的交点;
②以BP为底,C为顶点时,有两个,是以B为圆心,BA为半径的圆与以C为圆心,BC为半径的圆的交点;
③以CP为底,B为顶点时,没有.∵是以B为圆心,BA为半径的圆与以B为圆心,BC为半径的圆,∴没有交点.
综上所述,满足要求的点P有4个,即满足要求的点E有4个.
二、填空题
9.五个正整数从小到大排列,若这组数据的中位数是4,唯一众数是5,则这五个正整数的和是17或18或19.
【解析】 5个数为2,3,4,5,5或1,2,4,5,5或1,3,4,5,5.
10.若关于x的方程kx2+2(k+1)x+k-1=0有实数根,则k的取值范围是k≥-.
【解析】 提示:
分k=0和k≠0两种情况讨论.
11.A,B两地相距450km,甲,乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行.已知甲车速度为120km/h,乙车速度为80km/h,过t(h)后两车相距50km,则t的值是2或2.5.
【解析】 分相遇前和相遇后两种情况讨论.
①当甲,乙两车未相遇时,根据题意,得
120t+80t=450-50,解得t=2;
②当两车相遇后,两车又相距50km时,
根据题意,得120t+80t=450+50,解得t=2.5.
12.已知一个等腰三角形的三边长是x2-7x+10=0的根,则这个三角形的周长等于6或15或12.
【解析】 方程的根为2和5,∴三边长为2,2,2或5,5,5或5,5,2.
13.一个等腰三角形的一个外角等于110°
,则这个三角形的三个角应该为70°
,70°
,40°
或55°
,55°
.
【解析】 当等腰三角形的底角的外角等于110°
时,其底角为70°
,顶角为180°
-70°
×
2=40°
;
当等腰三角形的顶角的外角等于110°
时,其顶角为70°
,底角为=55°
14.点A,B,C都在半径为r的圆上,直线AD⊥直线BC,垂足为D,直线BE⊥直线AC,垂足为E,直线AD与BE交于点H.若BH=AC,则∠ABC所对的弧长等于_πr或πr.
【解析】 分两种情况:
(1)如解图①.∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠H+∠DBH=90°
,∠C+∠DBH=90°
,
∴∠H=∠C.
又∵∠BDH=∠ADC=90°
∴△BHD∽△ACD,∴==,
∴BD=AD,∴∠ABC=30°
∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°
2=60°
∴∠ABC所对的弧长==πr.
(第14题解)
(2)如解图②.同
(1)可得BD=AD,∴∠ABD=30°
∴∠ABC=150°
∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°
(第15题)
15.如图,正方形ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°
,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD,BC交于点P,Q.若PQ=AE,则AP等于1或2cm.
【解析】 如解图,过点P作PN⊥BC于点N.
(第15题解)
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=DC=PN.
在Rt△ADE中,∵∠DAE=30°
,AD=3,
∴DE=AD·
tan30°
=.
根据勾股定理,得AE==2.
∵M为AE的中点,∴AM=AE=.
在Rt△ADE和Rt△PNQ中,
∵
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL),
∴DE=NQ,∠DAE=∠NPQ=30°
,∠AED=∠PQN=60°
∵AD∥BC,∴∠APM=∠PQN=60°
∴∠PMA=90°
在Rt△AMP中,∵∠MAP=30°
,cos30°
=,
∴AP===2(cm).
由对称性得到AP′=DP=AD-AP=3-2=1(cm).
综上所述,AP等于1cm或2cm.
16.在Rt△ABC中,∠A=90°
,有一个锐角为60°
,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且∠ABP=30°
,则CP的长为6或2或4.
【解析】 分四种情况讨论:
(1)如解图①,当∠C=60°
,点P在线段AC上时,∠ABC=30°
∵∠ABP=30°
∴点P与点C重合,与条件相矛盾.
(第16题解①)
(第16题解②)
(2)如解图②,当∠C=60°
,点P在线段CA的延长线上时,∠ABC=30°
∵在Rt△ABC中,BC=6,∠ABC=30°
∴AC=BC=3.
在△ABC和△ABP中,
∴△ABC≌△ABP,AC=AP=3,
∴CP=AC+AP=3+3=6.
(3)如解图③,当∠ABC=60°
,点P在线段AC上时,∠C=30°
∵在Rt△ABC中,BC=6,∠C=30°
∴AB=BC=3.
∴AP=BP,∠PBC=∠ABC-∠ABP=30°
=∠C,
∴BP=CP.
在Rt△ABP中,由勾股定理,得BP2=AB2+AP2,
∴BP2=32+,解得BP=2.
∴CP=BP=2.
(第16题解③)
(第16题解④)
(4)如解图④,当∠ABC=60°
,点P在线段CA的延长线上时,∠C=30°
,∠ABC=60°
∴△PBC是直角三角形.
∵∠C=30°
,∴BP=CP.
在Rt△PBC中,由勾股定理,得CP2=BP2+BC2,
∴CP2=+62,解得CP=4.
综上所述,CP的长为6或2或4.
(第17题)
17.如图,已知函数y=2x和函数y=的图象交于A,B两点,过点A作AE⊥x轴于点E.若△AOE的面积为4,P是坐标平面上的点,且以点B,O,E,P为顶点的四边形是平行四边形,则满足条件的点P的坐标是(0,-4),(-4,-4)或(4,4).
【解析】 如解图,∵△AOE的面积为4,
(第17题解)
∴S△AOE=OE·
AE=4,∴OE·
AE=8,
∴xy=8,∴k=8.
∴反比例函数的表达式为y=.
∵函数y=2x和函数y=的图象交于A,B两点,
∴2x=∴x=±
2.
当x=2时,y=4;
当x=-2时,y=-4,
∴A,B两点的坐标分别是(2,4),(-2,-4).
∵以点B,O,E,P为顶点的平行四边形共有3个,
∴满足条件的点P有3个,分别为点P1(0,-4),P2(-4,-4),P3(4,4).
三、解答题
(第18题)
18.如图,直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).
(1)求抛物线的表达式.
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?
若存在,求出符合条件的点Q的坐标;
若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.
∵直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,
∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(0,3).
又∵抛物线经过A,B,C三点,点C的坐标为(3,0),
∴解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴该抛物线的对称轴为x=1.
设点Q的坐标为(1,m),则AQ=,BQ=,AB=.
当AB=AQ时,=,解得m=±
∴点Q的坐标为(1,)或(1,-);
当AB=BQ时,=,解得m1=0,m2=6,
∴点Q的坐标为(1,0)或(1,6),
但当点Q的坐标为(1,6)时,点A,B,Q在同一条直线上,∴舍去;
当AQ=BQ时,=,解得m=1,
∴点Q的坐标为(1,1).
∴抛物线的对称轴上存在点Q(1,),(1,-),(1,0),(1,1),使△ABQ是等腰三角形.
19.已知在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F,垂足为O.
(第19题)
(1)如图①,连结AF,CE.求证:
四边形AFCE为菱形,并求AF的长.
(2)如图②,动点P,Q分别从A,C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停