第十一章级数Word格式.docx

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5．证明下列级数发散：

（1）由于，所以级数发散；

（2）由于，所以级数发散；

（3）由于，所以级数发散；

（4）由于，所以级数发散。

6．用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性：

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）（第9小题是否应该放到下一题去用比值判别法？

建议移至第7大题第7小题）

参考答案：

（1）发散；

（2）收敛；

（3）发散；

（4）收敛；

（5）发散；

（6）发散；

（7）当a>

1时收敛，当a≤1时发散；

（8）收敛（参考答案有误？

）；

（9）当a<

e时收敛，当a≥e时发散

（1）由于，而级数发散，故正项级数发散；

（2）由于，而级数收敛，故正项级数收敛；

（3）由于，所以正项级数发散；

（4）由于，所以正项级数收敛；

（5）由于，而级数发散，所以正项级数发散；

（6）由于，所以正项级数发散；

（7）当时，由于，所以正项级数收敛，

当时，由于，所以正项级数发散；

（8）由于，而调和级数发散，所以正项级数发散；

（9）当时，由于，所以原级数收敛，

当时，由于，所以原级数发散。

（注：

本题已改用比值判别法

第十一章第二节

二级

7．用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性：

（9），其中an→a（n→∞），an、b、a均为正数

（1）收敛；

（3）收敛；

（4）发散；

（5）收敛；

（6）收敛（参考答案有误？

（7）收敛（无法用所给方法判别，建议移至上一大题）；

（8）收敛；

（9）当b<

a时收敛，当b>

a时发散，当b=a时不能判定

（1）由于，

所以正项级数收敛；

（2）由于，

（3）由于，

（4）由于，

所以正项级数发散；

（5）由于，

（6）由于，

（7）由于，而级数收敛，所以收敛；

由于本题用比值判别法判别失效，本题已改用比较判别法）

（8）由于，

（9）当时，由于，所以收敛，

当时，由于，所以发散，

当时，由于，所以的敛散性无法判定。

8．用积分判别法判别下列级数的敛散性：

（2）发散（原参考答案有误？

（4）当p>

1时收敛，当p≤1时发散

（1）由于积分发散，所以由积分判别法知，原级数发散；

（2）由于积分收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛；

（3）由于积分收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛；

1时，由于积分收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛。

当时，由于积分发散，所以由积分判别法知，原级数发散。

综合知，原级数当p>

1时收敛，当p≤1时发散。

9．利用级数收敛的必要条件，证明下列极限：

（3）

所以由比值判别法知正项级数级数收敛，

于是由级数收敛的必要条件知；

于是由级数收敛的必要条件知。

10．设an≥0，且收敛，证明也收敛

由于正项级数收敛，所以，存在正整数，当时，，从而当时，，由正项级数的比较判别法知，级数收敛。

11．设an≥0，且数列{nan}有界，证明也收敛

由于数列{nan}有界，存在正数，，从而，于是，而正项级数收敛，由正项级数的比较判别法知，级数收敛。

三级

12．设an≥0，bn≥0，且和都收敛，证明和也都收敛

由于an≥0，bn≥0，且和都收敛，故由第10题结论知级数，收敛，又由于

，

所以由正项级数的比较判别法知，级数收敛；

再利用，

所以由正项级数的比较判别法知，级数收敛。

13．设an≥0，且收敛，证明也收敛

由于an≥0，且收敛，故由第10题结论知级数收敛，结合级数收敛，并利用不等式

14．设和都是正项级数，如果，则当收敛时，也收敛；

当发散时，也发散。

由已知条件知，

或，

故由比较判别法知，当收敛时，也收敛；

15．设数列{nan}收敛，且级数收敛，证明级数也收敛。

设级数的部分和数列为，级数的部分和数列为，则

由于数列{nan}收敛，级数收敛，故数列、{nan}均收敛，由上式知数列收敛，从而数列收敛，于是级数收敛。

16．判别下列交错级数的敛散性：

（1）对交错级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛；

（2）对交错级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛；

（3）对于级数，由于，所以一般项不趋于零，故级数发散；

（4）对交错级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛；

第十一章第三节

17．判别下列级数是否收敛？

如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

：

（本题应为）

（8）

（1）对级数，由于，所以绝对收敛；

（2）对级数，由于，所以一般项不趋于零，故级数发散；

（3）对级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛，但是，其部分和数列发散，故原级数条件收敛；

（4）对级数，由于，所以原级数绝对收敛；

（5）对级数，由于，所以原级数绝对收敛；

（6）对级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛，

但是，由于级数发散，而，故原级数条件收敛；

（7）对级数，由于，故原级数绝对收敛；

（8）对级数，由于，，而收敛，故原级数绝对收敛。

18．求下列级数的收敛域：

（1）由于对任意实数x，有，而级数收敛，故原级数的收敛域为–∞<

x<

+∞；

（2）由于当|x|>

1时，，此时原级数绝对收敛，当时，原级数一般项不趋于零，故原级数发散，所以原级数的收敛域为；

（3）由于当|时，，此时原级数绝对收敛，当或时，，原级数发散，当或时，易知原级数发散，所以原级数的收敛域为；

（4）由于，易知原级数的收敛域为x<

0；

（5）由于，易知原级数的收敛域为x>

（6）由于当足够大时一般项为正，可看作正项级数，，易知原级数的收敛域为x>

1。

第十一章第四节

19．求下列幂级数的收敛域：

（9）；

（10）；

（11）

（1）由于，所以收敛半径为1，而当时，原级数条件收敛，当时，原级数发散，故收敛域为–1<

x≤1；

（2）由于，所以收敛半径为，而当时，原级数发散，故收敛域为；

（3）由于，所以收敛半径为1，而当时，原级数绝对收敛，故收敛域为|x|≤1；

（4）由于，所以收敛半径为，而当时，原级数绝对收敛，故收敛域为；

（5）由于，所以收敛域为–∞<

（6）由于，而当时，原级数发散，所以收敛域为；

（7）由于，而当时，原级数发散，当时，原级数条件收敛，所以收敛域为0≤x<

6；

（8）由于，而当时，原级数发散，当时，原级数条件收敛，所以收敛域为4≤x<

（9）由于，所以收敛半径为1，

当p>

1时，为收敛点，故收敛域为|x|≤1；

当0<

p≤1时，为发散点，为收敛点，故收敛域为–1≤x<

1；

当p≤0时，为发散点，故收敛域为|x|<

（10）由于，所以收敛半径为3，而当时，原级数发散，当时，原级数收敛，所以收敛域为–3≤x<

3；

（11）由于，所以收敛半径为1，而当时，原级数发散，故收敛域为–1<

第十一章第五节

一级~二级

20．将下列函数在给定点x0处展开为幂级数：

（第10小题是否应为？

以下按此进行解答）

（6）

；

（9）

（10）由于，所以，

在两边两次积分，注意到，即有

21．求下列级数的和：

（1）由于，积分得

令，即得级数和为；

（2）由于，求导得

（3）由于，

求导得，

令，即得级数和为。

22．求下列幂级数的和函数：

（4）

（2）设，则，在后式两边积分两次，即得

（3）设，则，两边求导得

（本题有误？

是否为？

如果题目是，则答案与原参考答案相同，解答见下）

23．利用函数的幂级数求下列各数的近似值，精确到四位小数：

（2）ln1.2；

（3）cos2°

。

第十一章第七节

24．用幂级数表示下列积分：

25．利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值：

（1）（精确到10–4）；

（2）（精确到10–3）

（2）。

26．把下列周期为2π的函数展开为傅里叶级数，并写出级数在[–π，π]上的和函数：

（