1、5证明下列级数发散:(1) 由于,所以级数发散;(2) 由于,所以级数发散;(3) 由于,所以级数发散;(4) 由于,所以级数发散。6用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性:(4) ;(5) ;(6) ;(7) ;(8) ;(9) (第9小题是否应该放到下一题去用比值判别法?建议移至第7大题第7小题)参考答案:(1) 发散;(2) 收敛;(3) 发散;(4) 收敛;(5) 发散;(6) 发散;(7) 当a1时收敛,当a1时发散;(8) 收敛(参考答案有误?);(9) 当ae时收敛,当ae时发散(1) 由于,而级数发散,故正项级数发散;(2) 由于,而级数收敛,故正项级数收敛;(
2、3) 由于,所以正项级数发散;(4) 由于,所以正项级数收敛;(5) 由于,而级数发散,所以正项级数发散;(6) 由于,所以正项级数发散;(7) 当时,由于,所以正项级数收敛,当时,由于,所以正项级数发散;(8) 由于,而调和级数发散,所以正项级数发散;(9) 当时,由于,所以原级数收敛,当时,由于,所以原级数发散。(注:本题已改用比值判别法第十一章第二节二级7用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性:(9) ,其中ana(n),an、b、a均为正数(1) 收敛;(3) 收敛;(4) 发散;(5) 收敛;(6) 收敛(参考答案有误?(7) 收敛(无法用所给方法判别,建议移至上一大题);(8
3、) 收敛;(9) 当ba时发散,当b=a时不能判定(1) 由于,所以正项级数收敛;(2) 由于,(3) 由于,(4) 由于,所以正项级数发散;(5) 由于,(6) 由于,(7) 由于,而级数收敛,所以收敛;由于本题用比值判别法判别失效,本题已改用比较判别法)(8) 由于,(9) 当时,由于,所以收敛, 当时,由于,所以发散, 当时,由于,所以的敛散性无法判定。8用积分判别法判别下列级数的敛散性:(2) 发散(原参考答案有误?(4) 当p1时收敛,当p1时发散(1) 由于积分发散,所以由积分判别法知,原级数发散;(2) 由于积分收敛,所以由积分判别法知,原级数收敛;(3) 由于积分收敛,所以由积
4、分判别法知,原级数收敛;1时,由于积分收敛,所以由积分判别法知,原级数收敛。当时,由于积分发散,所以由积分判别法知,原级数发散。综合知,原级数当p1时收敛,当p1时发散。9利用级数收敛的必要条件,证明下列极限:(3) 所以由比值判别法知正项级数级数收敛,于是由级数收敛的必要条件知;于是由级数收敛的必要条件知。10设an0,且收敛,证明也收敛由于正项级数收敛,所以,存在正整数,当时,从而当时,由正项级数的比较判别法知,级数收敛。11设an0,且数列nan有界,证明也收敛由于数列nan有界,存在正数,从而,于是,而正项级数收敛,由正项级数的比较判别法知,级数收敛。三级12设an0,bn0,且和都收
5、敛,证明和也都收敛由于an0,bn0,且和都收敛,故由第10题结论知级数,收敛,又由于,所以由正项级数的比较判别法知,级数收敛;再利用,所以由正项级数的比较判别法知,级数收敛。13设an0,且收敛,证明也收敛由于an0,且收敛,故由第10题结论知级数收敛,结合级数收敛,并利用不等式14设和都是正项级数,如果,则当收敛时,也收敛;当发散时,也发散。由已知条件知,或,故由比较判别法知,当收敛时,也收敛;15设数列nan收敛,且级数收敛,证明级数也收敛。设级数的部分和数列为,级数的部分和数列为,则由于数列nan收敛,级数收敛,故数列、nan均收敛,由上式知数列收敛,从而数列收敛,于是级数收敛。16判
6、别下列交错级数的敛散性:(1) 对交错级数,由于数列单调减少趋于零,所以由莱布尼茨定理知收敛;(2) 对交错级数,由于数列单调减少趋于零,所以由莱布尼茨定理知收敛;(3) 对于级数,由于,所以一般项不趋于零,故级数发散;(4) 对交错级数,由于数列单调减少趋于零,所以由莱布尼茨定理知收敛;第十一章第三节17判别下列级数是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?:(本题应为)(8) (1) 对级数,由于,所以绝对收敛;(2) 对级数,由于,所以一般项不趋于零,故级数发散;(3) 对级数,由于数列单调减少趋于零,所以由莱布尼茨定理知收敛,但是,其部分和数列发散,故原级数条件收敛;(4) 对级数,
7、由于,所以原级数绝对收敛;(5) 对级数,由于,所以原级数绝对收敛;(6) 对级数,由于数列单调减少趋于零,所以由莱布尼茨定理知收敛,但是,由于级数发散,而,故原级数条件收敛;(7) 对级数,由于,故原级数绝对收敛;(8) 对级数,由于,而收敛,故原级数绝对收敛。18求下列级数的收敛域:(1) 由于对任意实数x,有,而级数收敛,故原级数的收敛域为x1时,此时原级数绝对收敛,当时,原级数一般项不趋于零,故原级数发散,所以原级数的收敛域为;(3) 由于当|时,此时原级数绝对收敛,当或时,原级数发散,当或时,易知原级数发散,所以原级数的收敛域为;(4) 由于,易知原级数的收敛域为x(6) 由于当足够
8、大时一般项为正,可看作正项级数,易知原级数的收敛域为x1。第十一章第四节19求下列幂级数的收敛域:(9) ;(10) ;(11) (1) 由于,所以收敛半径为1,而当时,原级数条件收敛,当时,原级数发散,故收敛域为1x1;(2) 由于,所以收敛半径为,而当时,原级数发散,故收敛域为;(3) 由于,所以收敛半径为1,而当时,原级数绝对收敛,故收敛域为|x|1;(4) 由于,所以收敛半径为,而当时,原级数绝对收敛,故收敛域为;(5) 由于,所以收敛域为(6) 由于,而当时,原级数发散,所以收敛域为;(7) 由于,而当时,原级数发散,当时,原级数条件收敛,所以收敛域为0x6;(8) 由于,而当时,原
9、级数发散,当时,原级数条件收敛,所以收敛域为4x1时,为收敛点,故收敛域为|x|1;当0p1时,为发散点,为收敛点,故收敛域为1x1;当p0时,为发散点,故收敛域为|x|(10) 由于,所以收敛半径为3,而当时,原级数发散,当时,原级数收敛,所以收敛域为3x3;(11) 由于,所以收敛半径为1,而当时,原级数发散,故收敛域为1第十一章第五节一级二级20将下列函数在给定点x0处展开为幂级数: (第10小题是否应为?以下按此进行解答)(6) ;(9) (10) 由于,所以,在两边两次积分,注意到,即有21求下列级数的和:(1)由于,积分得令,即得级数和为;(2)由于,求导得(3)由于,求导得,令,即得级数和为。22求下列幂级数的和函数:(4) (2) 设,则,在后式两边积分两次,即得(3) 设,则,两边求导得(本题有误?是否为?如果题目是,则答案与原参考答案相同,解答见下)23利用函数的幂级数求下列各数的近似值,精确到四位小数:(2) ln1.2;(3) cos2。第十一章第七节24用幂级数表示下列积分:25利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值:(1) (精确到104);(2) (精确到103)(2) 。26把下列周期为2的函数展开为傅里叶级数,并写出级数在,上的和函数:(
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