届高三文科数学新课标版专题综合检测4 高考中的立体几何问题Word文档下载推荐.docx
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6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为( )
图4-5
A. B.C. D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积为 .
8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0<
r≤1)的圆锥.当半径r变化时,正方体挖去三个圆锥部分后,余下的几何体的表面积的最小值是 .
图4-6
三、解答题(共48分)
9.(12分)如图4-7,四边形ABCD为正方形,EA⊥平面ABCD,CF∥EA,EA=AB=2CF=2.
(1)若EC交平面BDF于点G,求证:
CG=CE;
(2)求证:
EC⊥平面BDF;
(3)求多面体ABCDEF的体积.
图4-7
10.(12分)在如图4-8所示的几何体中,矩形ABCD所在的平面与平面ABEF垂直,四边形ABEF是等腰梯形,AB∥EF,AB=2,AD=EF=1,O为AB的中点.
图4-8
(1)设FC的中点为M,求证:
OM∥平面DAF;
(2)设平面CBF将几何体EF-ABCD分割成的两个锥体的体积分别为VF-ABCD,VF-CBE,求VF-ABCD与VF-CBE的比值.
11.(12分)如图4-9,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,AB=2AD,E是AB上一点,且三棱锥P-BCE与四棱锥P-ADCE的体积之比为1∶2,CE与DA的延长线交于点F,连接PF.
(1)求证:
平面PCD⊥平面PAD;
(2)若三棱锥P-AEF的体积为,求线段AD的长.
图4-9
12.(12分)如图4-10,在Rt△PBC中,∠PCB=90°
AD∥BC,AD=1,BC=3,将△PAD沿AD折起得四棱锥P-ABCD,使PD⊥PB.
PD⊥平面PBC;
(2)若三棱锥P-ADC的体积为,求四棱锥P-ABCD的表面积.
图4-10
答案
1.C 根据题中三视图知,该多面体是从一个棱长为2的正方体的左上角截去一个直三棱柱后剩余的部分,因此其表面积为6×
22-1×
1×
2+×
1=22+,故选C.
2.D 观察题中三视图可知该组合体的上面是三棱锥,下面是半径为1的半球,其直观图如图D4-1所示.
图D4-1
解法一 如图D4-2所示,将组合体中三棱锥A-BEF“补”成正方体,顶点A,B,E,F分别是正方体的棱的中点.取EF的中点C,连接AC,BC,则EF⊥平面ABC,由已知得,EF=AB=2,AC=BC=,所以S△ABC=×
2×
2=2,三棱锥A-BEF的体积V1=×
S△ABC×
EF=,半球的体积V2=×
π×
13=π.所以该组合体的体积V=V1+V2=+π.故选D.
图D4-2
解法二 如图D4-3所示,将组合体中的三棱锥A-BEF“补”成正方体,顶点A,B,E,F分别是正方体的棱的中点,取AB的中点G,过EF和点G作截面EFDC,则截面EFDC将三棱锥A-BEF分成两个相同的小三棱锥,且AG=1,S△EFG=×
2=2,所以三棱锥A-BEF的体积V1=2×
×
S△EFG×
AG=,半球体积V2=×
13=π,所以该组合体的体积V=V1+V2=+π.故选D.
图D4-3
3.D 设正方体的棱长为a,则AC1=a,由正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球球心O为对角线AC1的中点,可知球O的半径R=a,因为E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,所以EF=EG=FG=a,所以△EFG为等边三角形,S△AEF=×
=,S△EFG=×
=.设点A到平面EFG的距离为h,由等体积法得S△AEF×
AG×
=S△EFG×
h×
解得h=,所以截面圆的半径r==,解得a=2,故选D.
4.C 设正四棱柱的高为h,表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为4,2,h的长方体的外接球,设外接球的半径为R,则4πR2=56π,所以4R2=56.又(2R)2=42+22+h2,所以56=20+h2,解得h=6.故选C.
5.D 由题意可知,开始时,沙漏上部分圆锥形容器中的细沙的高为H=×
8=,底面半径为r=×
4=,故细沙的体积V=πr2H=π×
()2×
=.当细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4,设其高为H'
则V=π×
42×
H'
=,解得H'
=,故此圆锥形沙堆的高为cm,故选D.
6.C 解法一 如图D4-4,在原三棱柱的上方,再放一个完全一样的三棱柱,连接AC1,CB1,C1B'
易得MN∥AC1,EF∥CB1∥C1B'
图D4-4
那么∠AC1B'
或∠AC1B'
的补角即直线MN与EF所成的角.
设AA1=AB=a,
则AC1=C1B'
=a,
连接AB'
则AB'
==3a,
由余弦定理,得cos∠AC1B'
==-,
则直线MN与EF所成的角为∠AC1B'
的补角,其余弦值为.故选C.
解法二 如图D4-5,连接AC1,C1B,CB1,
图D4-5
设C1B,CB1交于点O,取AB的中点D,连接CD,OD,
则MN∥AC1∥OD,EF∥CB1,
那么∠DOC或∠DOC的补角即直线MN与EF所成的角.
设AA1=AB=a,则AC1=CB1=a,
所以OD=OC=,又CD=,所以△OCD为正三角形,
故∠DOC=60°
所以∠DOC即为直线MN与EF所成的角,且cos∠DOC=,所以直线MN与EF所成角的余弦值为,故选C.
7.12π 由球体的对称性可知,圆柱的高即球心到圆柱两底面圆心的距离之和,设圆柱的底面半径为r,球心到圆柱底面的距离为d,外接球O的半径为R.由球心到圆柱底面的距离、圆柱底面的半径、球的半径之间构成直角三角形,可得r2+d2=R2.由题设可得2πr×
2d=8π,所以d=,则R2=r2+d2=r2+≥2=4,当且仅当r=时取等号,此时球O的体积取得最小值.故此时圆柱的表面积S表=8π+2πr2=8π+2π()2=12π.
8.3+π 由题知,余下几何体的表面积由原正方体的表面的剩余部分和3个圆锥的侧面组成,其表面积S=πr·
+3(1-r)+3(1-πr2)=6+π(r-r2-),其中0<
r≤1.设f(x)=x-x2-,0<
x≤1,求导并整理得f'
(x)=-2x-.当0<
x≤1时,1<
≤,
-(2x+1)<
2x2+1-(2x+1)=2x(x-1)≤0,∴<
2x+1,∴f'
(x)=-2x-<
2x+1-2x-=1-<
0,故f(x)在(0,1]上是减函数,则余下几何体的表面积S在(0,1]上也是减函数,故当r=1时,Smin=3+π.
9.
(1)连接AC交BD于O,连接FO,如图D4-6所示,∵EA∥FC,∴A,E,C,F四点共面,∴FO与EC相交,又FO⊂平面BDF,∴FO与EC的交点即EC与平面BDF的交点G.(2分)
过O作OH∥AE交EC于H,∵O是AC的中点,∴H是EC的中点,∴OH=AE.
连接HF,∵AE∥CF,且AE=2CF,∴OH∥CF,且OH=CF,∴四边形HOCF是平行四边形,∴G是线段CH的中点,∴CG=CE.(4分)
图D4-6
(2)∵EA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴EA⊥BD.
∵BD⊥AC,AC∩EA=A,∴BD⊥平面EAC,又EC⊂平面EAC,
∴BD⊥EC.(6分)
∵OC=AB=CF=OH,OH⊥OC,∴四边形HOCF为正方形,∴OF⊥EC.
∵BD∩OF=O,∴EC⊥平面BDF.(8分)
(3)由
(2)知BD⊥平面EACF.
∵S梯形EACF===3,
∴V多面体ABCDEF=VB-EACF+VD-EACF=S梯形EACF·
BD=2.(12分)
10.
(1)设FD的中点为N,连接AN,MN.
∵M为FC的中点,
∴MN∥CD,MN=CD.(2分)
又AO∥CD,AO=CD,
∴MN∥AO,MN=AO,
∴四边形MNAO为平行四边形,
∴OM∥AN.(4分)
又OM⊄平面DAF,AN⊂平面DAF,
∴OM∥平面DAF.(6分)
(2)过点F作FG⊥AB于G.
∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,
∴FG⊥平面ABCD,
∴VF-ABCD=S四边形ABCD·
FG=AB·
BC·
FG=FG.(9分)
同理可证CB⊥平面ABEF,
∴VF-CBE=VC-BEF=S△BEF·
CB=·
EF·
FG·
CB=FG.
∴=4.(12分)
11.
(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.(1分)
又底面ABCD是矩形,所以AD⊥CD.(2分)
因为PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.(3分)
因为CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.(4分)
(2)不妨设AP=AD=x,则AB=2AD=2x,BC=x.(5分)
因为三棱锥P-BCE与四棱锥P-ADCE的体积之比为1∶2,
所以=,得=,得=,得BE=2AE.(7分)
则BE=,AE=.(8分)
易知△AEF∽△BEC,则==,即AF=x.(9分)
所以三棱锥P-AEF的体积V=×
AF×
AE×
AP=×
x×
x=,解得x=3.
故线段AD的长为3.(12分)
12.
(1)翻折前在Rt△PBC中,∠PCB=90°
AD∥BC,
所以AD⊥PC,翻折后AD⊥PD,所以BC⊥PD.(2分)
又PD⊥PB,PB∩BC=B,所以PD⊥平面PBC.(4分)
(2)翻折后AD⊥DC,AD⊥PD,所以AD⊥平面PDC,由
(1)知PD⊥PC,设PD=x.
因为AD∥BC,AD=1,BC=3