届高三文科数学新课标版专题综合检测4 高考中的立体几何问题Word文档下载推荐.docx

1、6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为（）图4-5A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分,共10分）7.若侧面积为8的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积为.8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r（0r1）的圆锥.当半径r变化时,正方体挖去三个圆锥部分后,余下的几何体的表面积的最小值是.图4-6三、解答题（共48分）9.（12分）如图4-7,四边形ABCD为

2、正方形,EA平面ABCD,CFEA,EA=AB=2CF=2.（1）若EC交平面BDF于点G,求证:CG=CE;（2）求证:EC平面BDF;（3）求多面体ABCDEF的体积.图4-710.（12分）在如图4-8所示的几何体中,矩形ABCD所在的平面与平面ABEF垂直,四边形ABEF是等腰梯形,ABEF,AB=2,AD=EF=1,O为AB的中点.图4-8（1）设FC的中点为M,求证:OM平面DAF;（2）设平面CBF将几何体EF-ABCD分割成的两个锥体的体积分别为VF-ABCD,VF-CBE,求VF-ABCD与VF-CBE的比值.11.（12分）如图4-9,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是

3、矩形,PA平面ABCD,PAD是等腰三角形,AB=2AD,E是AB上一点,且三棱锥P-BCE与四棱锥P-ADCE的体积之比为12,CE与DA的延长线交于点F,连接PF.（1）求证:平面PCD平面PAD;（2）若三棱锥P-AEF的体积为,求线段AD的长.图4-912.（12分）如图4-10,在RtPBC中,PCB=90,ADBC,AD=1,BC=3,将PAD沿AD折起得四棱锥P-ABCD,使PDPB.PD平面PBC;（2）若三棱锥P-ADC的体积为,求四棱锥P-ABCD的表面积.图4-10答案1.C根据题中三视图知,该多面体是从一个棱长为2的正方体的左上角截去一个直三棱柱后剩余的部分,因此其表面

4、积为622-112+1=22+,故选C.2.D观察题中三视图可知该组合体的上面是三棱锥,下面是半径为1的半球,其直观图如图D 4-1所示.图D 4-1解法一如图D 4-2所示,将组合体中三棱锥A-BEF“补”成正方体,顶点A,B,E,F分别是正方体的棱的中点.取EF的中点C,连接AC,BC,则EF平面ABC,由已知得,EF=AB=2,AC=BC=,所以SABC=22=2,三棱锥A-BEF的体积V1=SABCEF=,半球的体积V2=13=.所以该组合体的体积V=V1+V2=+.故选D.图D 4-2解法二如图D 4-3所示,将组合体中的三棱锥A-BEF“补”成正方体,顶点A,B,E,F分别是正方体

5、的棱的中点,取AB的中点G,过EF和点G作截面EFDC,则截面EFDC将三棱锥A-BEF分成两个相同的小三棱锥,且AG=1,SEFG=2=2,所以三棱锥A-BEF的体积V1=2SEFGAG=,半球体积V2=13=,所以该组合体的体积V=V1+V2=+.故选D.图D 4-33.D设正方体的棱长为a,则AC1=a,由正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球球心O为对角线AC1的中点,可知球O的半径R=a,因为E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,所以EF=EG=FG=a,所以EFG为等边三角形,SAEF=,SEFG=.设点A到平面EFG的距离为h,由等体积法得SAEFAG=SEFGh,解得h=

6、,所以截面圆的半径r=,解得a=2,故选D.4.C设正四棱柱的高为h,表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为4,2,h的长方体的外接球,设外接球的半径为R,则4R2=56,所以4R2=56.又（2R）2=42+22+h2,所以56=20+h2,解得h=6.故选C.5.D由题意可知,开始时,沙漏上部分圆锥形容器中的细沙的高为H=8= ,底面半径为r=4= ,故细沙的体积V=r2H=（）2=.当细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4,设其高为H ,则V=42H=,解得H=,故此圆锥形沙堆的高为cm,故选D.6.C解法一如图D 4-4,在原三棱柱的上方,再放一个完全一样的三棱柱,连接AC1,

7、CB1,C1B,易得MNAC1,EFCB1C1B图D 4-4那么AC1B或AC1B的补角即直线MN与EF所成的角.设AA1=AB=a,则AC1=C1B=a,连接AB,则AB=3a,由余弦定理,得cosAC1B=-,则直线MN与EF所成的角为AC1B的补角,其余弦值为.故选C.解法二如图D 4-5,连接AC1,C1B,CB1,图D 4-5设C1B,CB1交于点O,取AB的中点D,连接CD,OD,则MNAC1OD,EFCB1,那么DOC或DOC的补角即直线MN与EF所成的角.设AA1=AB=a,则AC1=CB1=a,所以OD=OC=,又CD=,所以OCD为正三角形,故DOC=60,所以DOC即为直

8、线MN与EF所成的角,且cosDOC=,所以直线MN与EF所成角的余弦值为,故选C.7.12由球体的对称性可知,圆柱的高即球心到圆柱两底面圆心的距离之和,设圆柱的底面半径为r,球心到圆柱底面的距离为d,外接球O的半径为R.由球心到圆柱底面的距离、圆柱底面的半径、球的半径之间构成直角三角形,可得r2+d2=R2.由题设可得2r2d=8,所以d=,则R2=r2+d2=r2+2=4,当且仅当r=时取等号,此时球O的体积取得最小值.故此时圆柱的表面积S表=8+2r2=8+2（）2=12.8.3+由题知,余下几何体的表面积由原正方体的表面的剩余部分和3个圆锥的侧面组成,其表面积S=r+3（1-r）+3（

9、1-r2）=6+（r-r2-）,其中0r1.设 f（x）=x-x2-,0x1,求导并整理得f （x）= -2x-.当0x1时,1,-（2x+1）2x2+1-（2x+1）=2x（x-1）0,2x+1,f （x）= -2x-2x+1-2x-=1-0,故f（x）在（0,1上是减函数,则余下几何体的表面积S在（0,1上也是减函数,故当r=1时,Smin=3+.9.（1）连接AC交BD于O,连接FO,如图D 4-6所示,EAFC,A,E,C,F四点共面,FO与EC相交,又FO平面BDF,FO与EC的交点即EC与平面BDF的交点G.（2分）过O作OHAE交EC于H,O是AC的中点,H是EC的中点,OH=A

10、E.连接HF,AECF,且AE=2CF,OHCF,且OH=CF,四边形HOCF是平行四边形,G是线段CH的中点,CG=CE.（4分）图D 4-6（2）EA平面ABCD,BD平面ABCD,EABD.BDAC,ACEA=A,BD平面EAC,又EC平面EAC,BDEC.（6分）OC=AB=CF=OH,OHOC,四边形HOCF为正方形,OFEC.BDOF=O,EC平面BDF.（8分）（3）由（2）知BD平面EACF.S梯形EACF=3,V多面体ABCDEF=VB-EACF+VD-EACF=S梯形EACFBD=2.（12分）10.（1）设FD的中点为N,连接AN,MN.M为FC的中点,MNCD,MN=C

11、D.（2分）又AOCD,AO=CD,MNAO,MN=AO,四边形MNAO为平行四边形,OMAN.（4分）又OM平面DAF,AN平面DAF,OM平面DAF.（6分）（2）过点F作FGAB于G.平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,FG平面ABCD,VF-ABCD=S四边形ABCDFG=ABBCFG=FG.（9分）同理可证CB平面ABEF,VF-CBE=VC-BEF=SBEFCB=EFFGCB=FG.=4.（12分）11.（1）因为PA平面ABCD,所以PACD.（1分）又底面ABCD是矩形,所以ADCD.（2分）因为PAAD=A,所以CD平面PAD.（3分）因为CD平面PCD

12、,所以平面PCD平面PAD.（4分）（2）不妨设AP=AD=x,则AB=2AD=2x,BC=x.（5分）因为三棱锥P-BCE与四棱锥P-ADCE的体积之比为12,所以=,得=,得=,得BE=2AE.（7分）则BE=,AE=.（8分）易知AEFBEC,则=,即AF=x.（9分）所以三棱锥P-AEF的体积V=AFAEAP=xx=,解得x=3.故线段AD的长为3.（12分）12. （1）翻折前在RtPBC中,PCB=90,ADBC,所以ADPC,翻折后ADPD,所以BCPD.（2分）又PDPB,PBBC=B,所以PD平面PBC.（4分）（2）翻折后ADDC,ADPD,所以AD平面PDC,由（1）知PDPC,设PD=x.因为ADBC,AD=1,BC=3