学年高中数学人教A版浙江专版必修4第一章 15 第二课时 函数yAsinωx+φ的性质 Word版含答案.docx

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学年高中数学人教A版浙江专版必修4第一章15第二课时函数yAsinωx+φ的性质Word版含答案

第二课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质

预习课本P54～55，思考并完成以下问题

（1）在简谐运动中，y＝Asin（ωx＋φ）的初相、振幅、周期分别为多少？

（2）函数y＝Asin（ωx＋φ）有哪些性质？

1．函数y＝Asin（ωx＋φ），A＞0，ω＞0中参数的物理意义

[点睛]　当A＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin的初相不是φ＝－.

2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的有关性质

名称

性质

定义域

R

值域

[－A，A]

周期性

T＝

对称性中心

（k∈Z）

对称轴

x＝＋（k∈Z）

奇偶性

当φ＝kπ（k∈Z）时是奇函数

当φ＝kπ＋（k∈Z）时是偶函数

单调性

由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得

单调递增区间

由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数y＝sin（ωx＋φ）（ω≠0）的值域为[－，]．（　　）

（2）函数y＝Asin（ωx＋φ），x∈R的最大值为A.（　　）

（3）函数y＝3sin（2x－5）的初相为5.（　　）

答案：

（1）√　

（2）×　（3）×

2．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是（　　）

A．3π，，　　　　　B．6π，，

C．3π，3，－D．6π，3，

答案：

B

3．函数y＝Asin（ωx＋φ）＋1（A＞0，ω＞0）的最大值为5，则A＝（　　）

A．5B．－5

C．4D．－4

答案：

C

4．函数f（x）＝sin的图象的对称轴方程是________________________．

答案：

x＝kπ＋，k∈Z

函数y＝Asin（ωx＋φ）中参数的物理意义

[典例]　指出下列函数的振幅A、周期T、初相φ.

（1）y＝2sin，x∈R；

（2）y＝－6sin，x∈R.

[解]　

（1）A＝2，T＝＝4π，φ＝.

（2）将原解析式变形，得y＝－6sin＝6sin，则有A＝6，T＝＝π，φ＝π.

首先把函数解析式化为y＝Asin（ωx＋φ）（其中A＞0，ω＞0）的形式，再求振幅、周期、初相．应注意A＞0，ω＞0.

[活学活用]

　已知简谐运动f（x）＝2sin的图象经过点（0,1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（　　）

A．T＝6，φ＝　　　　　B．T＝6，φ＝

C．T＝6π，φ＝D．T＝6π，φ＝

解析：

选A　T＝＝＝6，

∵图象过（0,1）点，∴sinφ＝.

∵－＜φ＜，∴φ＝.

由图象确定函数的解析式

[典例]　如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一部分，求此函数的解析式．

[解]　[法一　逐一定参法]

由图象知A＝3，

T＝－＝π，

∴ω＝＝2，

∴y＝3sin（2x＋φ）．

∵点在函数图象上，

∴0＝3sin.

∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ（k∈Z）．

∵|φ|<，∴φ＝.

∴y＝3sin.

[法二　待定系数法]

由图象知A＝3.∵图象过点和，

∴解得

∴y＝3sin.

[法三　图象变换法]

由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移个单位长度而得，

所以y＝3sin2，即y＝3sin.

给出y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法

（1）第一零点法：

如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”（即“五点法”作图中的第一个点）的数据代入“ωx＋φ＝0”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得φ.

（2）特殊值法：

通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．

（3）图象变换法：

运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．

[活学活用]

如图为函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）

的图象的一部分，试求该函数的解析式．

解：

由图可得：

A＝，T＝

2|MN|＝π.从而ω＝＝2，

故y＝sin（2x＋φ），

将M代入得sin＝0，

取φ＝－，得y＝sin.

三角函数图象的对称性

[典例]　在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．

[解析]　设4x＋＝kπ（k∈Z），得x＝－（k∈Z）

∴函数y＝2sin图象的对称中心坐标为（k∈Z）．

取k＝1得满足条件．

[答案]　

[一题多变]

1．[变条件，变设问]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程．

解：

由4x＋＝kπ＋，得x＝－，

取k＝0时，x＝－满足题意．

2．[变条件]将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果如何？

解：

由4x＋＝kπ＋，得x＝kπ－，

取k＝0时，x＝－.

则所求对称中心为.

三角函数对称轴、对称中心的求法

对称轴

对称中心

y＝Asin（ωx＋φ）

令ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z）

令ωx＋φ＝kπ（k∈Z）求对称中心横坐标

y＝Acos（ωx＋φ）

令ωx＋φ＝kπ（k∈Z）

令ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z）求对称中心横坐标

y＝Atan（ωx＋φ）

无

令ωx＋φ＝（k∈Z）求对称中心横坐标

层级一　学业水平达标

1．简谐运动y＝4sin的相位与初相是（　　）

A．5x－，　　　　　　　B．5x－，4

C．5x－，－D．4，

解析：

选C　相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.

2．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是（　　）

A．y＝sinB．y＝sin

C．y＝sinD．y＝sin

解析：

选D　由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.

3．函数y＝sin的图象的一条对称轴是（　　）

A．x＝－B．x＝

C．x＝－D．x＝

解析：

选C　由x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得x＝－.

4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（　　）

A．y＝sin

B．y＝sin

C．y＝cos

D．y＝cos

解析：

选D　设y＝Asin（ωx＋φ），显然A＝1，又图象过点，，所以解得ω＝2，φ＝.所以函数解析式为y＝sin＝cos.

5．已知函数f（x）＝sin（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（　　）

A．关于直线x＝对称B．关于点对称

C．关于直线x＝对称D．关于点对称

解析：

选A　依题意得T＝＝π，ω＝2，故f（x）＝sin，所以f＝sin＝sin＝1，f＝sin＝sin＝，因此该函数的图象关于直线x＝对称，不关于点和点对称，也不关于直线x＝对称．故选A.

6．y＝－2sin的振幅为________，周期为________，初相φ＝________.

解析：

∵y＝－2sin

＝2sin＝2sin，

∴A＝2，ω＝3，φ＝，

∴T＝＝.

答案：

2　　

7.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0）的图象如图所示，则ω＝________.

解析：

由题意设函数周期为T，

则＝－＝，∴T＝.

∴ω＝＝.

答案：

8．函数f（x）＝Asin（A>0，ω>0）在一个周期内，当x＝时，函数f（x）取得最大值2，当x＝时，函数f（x）取得最小值－2，则函数解析式为______________________．

解析：

由题意可知A＝2.＝－＝，

∴T＝π，∴＝π，即ω＝2.

∴f（x）＝2sin.

答案：

f（x）＝2sin

9．求函数y＝sin图象的对称轴、对称中心．

解：

令2x＋＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z）．

令2x＋＝kπ，得x＝－（k∈Z）．

即对称轴为直线x＝＋（k∈Z），对称中心为（k∈Z）．

10．如图为函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的一个周期内的图象．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的最小正周期、频率、振幅、初相．

解：

（1）由图，知A＝2，T＝7－（－1）＝8，

∴ω＝＝＝，∴f（x）＝2sin.

将点（－1,0）代入，得0＝2sin.

∵|φ|＜，∴φ＝，

∴f（x）＝2sin.

（2）由

（1），知f（x）的最小正周期为＝8，

频率为，振幅为2，初相为.

层级二　应试能力达标

1．设f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的定义域为R，周期为，初相为，值域为[－1,3]，则函数f（x）的解析式为（　　）

A．y＝2sin＋1

B．y＝2sin－1

C．y＝－2sin－1

D．y＝2sin＋1

解析：

选A　∵－A＋B＝－1，A＋B＝3，

∴A＝2，B＝1，

∵T＝＝，

∴ω＝3，又φ＝，

故f（x）＝2sin＋1.

2．函数f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0，φ∈[0,2π））的部分图象如图，则f（2017）＝（　　）

A．－1　　　　　　　　　B．1

C．D．－

解析：

选B　由题图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝.由点（1,1）在函数图象上可得f

（1）＝cos＝1，所以＋φ＝2kπ（k∈Z），所以φ＝2kπ－（k∈Z），又φ∈[0,2π），所以φ＝.故f（x）＝cos，f（2017）＝cos＝cos506π＝cos（253×2π）＝1.

3．已知函数f（x）＝2sin，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为（　　）

A．

B．

C．

D．

解析：

选B　∵f（x）≥1，即2sin≥1，

∴sin≥，

∴＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z.

解得＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.

4．设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则（　　）

A．f（x）的图象过点

B．f（x）在上是减函数

C．f（x）的一个对称中心是

D．f（x）的最大值是A

解析：

选C　∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.

又∵f（x）的图象关于直线x＝对称，

∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ＝.

∴f（x）＝Asin.

∴f（x）图象过点.

又当x＝时，2x＋＝π，即f＝0，

∴是f（x）的一个对称中心．

5．在函数y＝－2sin的图象与x轴的交点中，离原点最近的交点坐标是________．

解析：

当y＝0时，sin＝0，

∴4x＋＝kπ，k∈Z，

∴x＝π－，k∈Z，

取k＝0，则x＝－，取k＝1，则x＝，

∴离原点最近的交点坐标.

答案：

6．若函数y＝sin（ω＞0）图象的对称轴中与y轴距离最小的对称轴方程为x＝，则实数ω的值为________．

解析：

令ωx＋＝＋kπ，k∈Z，得函数图象的对称轴方程为x＝π＋，k∈Z.

根据题意得k＝0，所以＝，解得ω＝.

答案：

7．已知函数f（x）＝2sin＋1（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为.

（1）求f的值；

（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．

解：

（1）∵f（x）为偶函数，

∴φ－＝kπ＋（k∈Z），

∴φ＝kπ＋（k∈Z）．

又0＜φ＜π，∴φ＝，

∴f（x）＝2sin＋1＝2cosωx＋1.

又函数f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为，

∴T＝＝2×，