全国市级联考word广东省广州市届高三综合测试二数学理试题Word下载.docx

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2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

评卷人

一、选择题（题型注释）

1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ 

）

A．

B．

C．

D．16

2、已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（ 

D．

3、在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的面积为（ 

4、函数的大致图象是（ 

5、执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ 

A．4

B．3

6、定义在上的奇函数为减函数，若，满足，则当时，的取值范围为（ 

7、已知，点是直线与圆的公共点，则的最大值为（ 

A．15

B．9

C．1

8、已知点在抛物线（）上，该抛物线的焦点为，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的平分线所在的直线方程为（ 

9、已知，则（ 

10、从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ 

11、若复数满足，则复数所对应的点位于（ 

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

12、已知集合，，则（ 

第II卷（非选择题）

二、填空题（题型注释）

13、《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：

“今有物，不知其数.三三数之，剩二；

五五数之，剩三；

七七数之，剩二.问：

物几何？

”其意思为：

“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；

5个5个数，剩3个；

7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？

”试计算这堆物品至少有__________个．

14、在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为__________．

15、设，则__________．

16、已知点，，，，若点在轴上，则实数__________．

三、解答题（题型注释）

17、选修4-5：

不等式选讲

（Ⅰ）已知，证明：

；

（Ⅱ）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

18、选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），设直线与曲线交于，两点.

（Ⅰ）求线段的长；

（Ⅱ）已知点在曲线上运动，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积.

19、已知函数在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若存在，满足，求实数的取值范围.

20、已知双曲线的焦点是椭圆：

（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.

21、某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；

若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令表示实施方案的第二个月的销量是促销前销量的倍数.

（Ⅰ）求，的分布列；

（Ⅱ）不管实施哪种方案，与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.

22、如图，是边长为的菱形，，平面，平面，.

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

23、设等比数列的前项和，已知，（）.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

参考答案

1、B

2、C

3、C

4、A

5、A

6、D

7、B

8、D

9、C

10、B

11、B

12、A

13、23

14、27

15、

16、

17、（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）.

18、（Ⅰ）；

19、（Ⅰ）;

20、（Ⅰ）;

21、（Ⅰ）见解析;

（Ⅱ）实施方案1.

22、（Ⅰ）见解析;

23、（Ⅰ）;

【解析】

1、

由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥 

（正方体的棱长为 

， 

是棱的中点），其体积为 

，故选C.

【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.

2、因为函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，所以 

，的取值范围为，故选C.

【方法点晴】本题主要考查三角函数的图象、三角函数的周期性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．

3、

设 

的中点为 

，则 

，连接 

，则梯形 

就是过，，正方体的截面，其面积为 

4、因为函数，所以 

，，函数在 

上递增，只有选项A符合题意，故选A.

5、执行程序框图， 

，第一次循环， 

，第二次循环， 

，第三次循环， 

，第四次循环， 

，第五次循环， 

结束循环，输出故选A.

【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：

（1）不要混淆处理框和输入框；

（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；

（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；

（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；

（5）要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

6、由于函数为奇函数且为减函数，故由得，即，，画出可行域如下图所示，由图可知.

点睛：

本题主要考查函数的单调性与奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，将不等式的问题转化为线性规划问题来求解，考查了斜率型的线性规划问题.解题时，首先根据函数的单调性与奇偶性，将原不等式化简为，然后将分别看成，将可行域画出来，然后借助即可得到所求的取值范围.

7、由于直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，解得，将点坐标代入直线和圆的方程，有，第一个式子两边平方后，代入第二个式子，化简得，二次函数对称轴为，且开口向上，根据可知当时，有最大值为,

本题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查二次函数求最值的方法，其中二次函数的定义域是有范围的.由于直线和圆有交点，故圆心到直线的距离不大于半径，由此可求得的取值范围.再将点坐标代入两个曲线的方程，化简出关于的表达式，最后利用二次函数求最值的方法求得最大值.

8、将坐标代入抛物线方程，解得，故抛物线方程为，准线方程为，故，由于，故的角平分线即等腰三角形的高，中点坐标为，结合由直线方程两点式有，即.

9、.

10、基本事件有种，其中结尾的有种，结尾的也有种，故概率为.

11、，对应点在第二象限.

12、，，解得，故.

本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合交集等知识.解含有一个绝对值不等式，只需要按照口诀“大于在两边，小于在中间”来解即可.解分式不等式主要方法就是通过通分后，转化为整式不等式来求解，在转化的过程中要注意分母不为零这个特殊情况.

13、除以 

余 

且除以 

余的数是除以 

余的数.和的最小公倍数是.

的倍数有 

除以 

余的数有，…其中除以 

的数最小数为 

，这些东西有个，故答案为 

.

【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力，属于难题.弘扬传统文化与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过中国古代数学名著及现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.

14、画出图像如下图所示，由于、为定值，故在以为弦的圆上运动，由正弦定理得，故圆心的坐标为，的最大值即为的值，也即是的值，由两点间的距离公式有.

15、,，故.

16、依题意设，代入有，所以.

17、试题分析：

（Ⅰ）利用条件运用基本不等式，将原式化为，再应用条件，即可得结果；

（Ⅱ）“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”，只需求出的最小值即可得结果.

试题解析：

（Ⅰ）证明：

因为，

所以.

所以要证明，

即证明.

因为

，

因为，所以.

（Ⅱ）设，

则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”.

当时，

此时，

要使恒成立，必须，解得.

当时，不可能恒成立.

综上可知，实数的取范为.

【方法点晴】本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立（可）或恒成立（即可）；

②数形结合（图象在 

上方即可）；

③讨论最值或恒成立；

④讨论参数.本题是利用方法③ 

求得的范围.

18、试题分析：

（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，与直线方程联立，求出 

点的坐标，利用两点间的距离公式求解即可；

（Ⅱ）设过点且与直线平行的直线方程.则与相切时，的最大面积，求出 

点坐标，根据点到直线的距离公式及三角形面积公式可得结果.

（Ⅰ）曲线的普通方程为.

将直线代入中消去得，.

解得或.

所以点，，

所以 

（Ⅱ）在曲线上求一点，使的面积最大，则点到直线的距离最大.

设过点且与直线平行的直线方程.

将代入整理得，.

令 

，解得.

将代入方程，解得.

易知当点的坐标为时，的面积最大.

且点到直线的距离为 

的最大面积为.

19、试题分析：

（I）利用导数求得切线方程，将其和已知的切线方程对比，可得.（II）将原不等式分离常数，得到在上有解，令，利用其二阶导数判断出在区间上单调递减，求得其最小值，进而得到的取值范围.

（Ⅰ）函数的定义域为.

所以函数在点处的切线方程为 

，即.

已知函数在点处的切线方程为，比较求得.

所以实数的值为.

（Ⅱ）由，即 

所以问题转化为在上有解.