鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解Word文件下载.doc

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　　总头数-鸡数=兔数。

（例略）

　　（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。

　　（每只鸡的脚数×

　　总头数-兔数=鸡数。

　　或（每只兔的脚数×

总头数-鸡兔脚数之差）÷

（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；

　　（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：

　　（1只合格品得分数×

产品总数-实得总分数）÷

（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。

或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×

总产品数+实得总分数）÷

　　例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。

每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。

某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？

　　解一（4×

1000-3525）÷

（4+15）

　　=475÷

19=25（个）

　　解二1000-（15×

1000+3525）÷

　　＝1000-18525÷

19

　　=1000-975=25（个）（答略）

　　（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费×

×

元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本×

元……。

它的解法显然可套用上述公式。

）

　　（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：

　　〔（两次总脚数之和）÷

（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷

（每只鸡兔脚数之差）〕÷

2=鸡数；

（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷

2=兔数。

　　例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。

鸡兔各是多少只？

　　解〔（52+44）÷

（4+2）+（52-44）÷

（4-2）〕÷

2

　　=20÷

2=10（只）……………………………鸡

　　〔（52+44）÷

（4+2）-（52-44）÷

　　=12÷

2=6（只）…………………………兔（答略）

鸡兔同笼

目录1总述2假设法3方程法一元一次方程二元一次方程

4抬腿法5列表法6详解7详细解法

基本问题特殊算法习题

8鸡兔同笼公式

1总述

鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。

大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样叙述的：

“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

”这四句话的意思是：

有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有94只脚。

问笼中各有几只鸡和兔？

算这个有个最简单的算法。

（总脚数-总头数×

鸡的脚数）÷

（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数

（94－35×

2）÷

2=12（兔子数）总头数（35）－兔子数（12）=鸡数（23）

解释：

让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数×

2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子数。

虽然现实中没人鸡兔同笼。

2假设法

假设全是鸡：

2×

35=70（只）

鸡脚比总脚数少：

94－70=24（只）

兔：

24÷

（4-2）=12（只）

鸡：

35－12=23（只）

假设法（通俗）

假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：

94-35=59（只）

然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：

59-35=24（只）兔：

2=12（只）鸡：

35-12=23（只）

3方程法

一元一次方程

解：

设兔有x只，则鸡有（35-x）只。

4x+2（35-x）=94

4x+70-2x=94

2x=94-70

2x=24

x=24÷

2

x=12

35-12=23（只）

或解：

设鸡有x只，则兔有（35-x）只。

2x+4（35-x）=94

2x+140-4x=94

2x=46

x=23

35-23=12（只）

答：

兔子有12只，鸡有23只。

注：

通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。

二元一次方程

设鸡有x只，兔有y只。

x+y=35

2x+4y=94

（x+y=35）×

2=2x+2y=70

（2x+2y=70）-（2x+4y=94）=（2y=24）

y=12

把y=12代入（x+y=35）

x+12=35

x=35-12（只）

x=23（只）。

兔子有12只，鸡有23只

4抬腿法法一

假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。

笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。

法二

假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×

2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷

2=12只兔子，就有35－12=23只鸡

5列表法

腿数

鸡（只数）

兔（只数）

6详解

中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。

这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。

鸡兔总的脚数是35×

2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。

现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：

2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。

我们来总结一下这道题的解题思路：

如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。

概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：

兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×

鸡兔总数）÷

（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。

类似地，也可以假设全是兔子。

我们也可以采用列方程的办法：

设兔子的数量为x，鸡的数量为y

那么：

x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出：

7详细解法

基本问题

"

鸡兔同笼"

是一类有名的中国古算题。

最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--"

假设法"

来求解。

因此很有必要学会它的解法和思路.

例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只

我们设想，每只鸡都是"

金鸡独立"

一只脚站着；

而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。

现在，地面上出现脚的总数的一半，·

也就是

244÷

2=122（只）.

在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。

因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数

122-88=34（只），

有34只兔子.当然鸡就有54只。

有兔子34只,鸡54只。

上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数÷

2-总头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数

特殊算法

上面的解法是《孙子算经》中记载的。

做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！

能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，"

脚数"

就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。

因此，我们对这类问题给出一种一般解法.

还说例1.

如果设想88只都是兔子，那么就有4×

88只脚，比244只脚多了

88×

4-244=108（只）.

每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡

（88×

4-244）÷

（4-2）=54（只）.

说明我们设想的88只"

兔子"

中，有54只不是兔子。

而是鸡.因此可以列出公式

鸡数=（兔脚数×

（兔脚数-鸡脚数）.

当然，我们也可以设想88只都是"

鸡"

那么共有脚2×

88=176（只），比244只脚少了

244-176=68（只）.

每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，

68÷

2=34（只）.

说明设想中的"

有34只是兔子，也可以列出公式

兔数=（总脚数-鸡脚数×

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为"

.

现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。

例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。

问红，蓝铅笔各买几支？

以"

分"

作为钱的单位.我们设想，一种"

有11只脚，一种"

有19只脚，它们共有16个头，280只脚。

现在已经把买铅笔问题，转化成"

问题了.利用上面算兔数公式，就有

蓝笔数=（19×

16-280）÷

（19-11）

=24÷

8

=3（支）.

红笔数=16-3=13（支）.

买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。

对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的"

19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是"

8只是"

根据这一设想，脚数是

8×

（11+19）=240（支）。

比280少40.

40÷

（19-11）=5（支）。

就知道设想中的8只"

应少5只，也就是"

（蓝铅笔）数是3.

30×

8比19×

16或11×

16要容易计算些。

利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.

实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。

例如，设想16只中，"

兔数"

为10,"

鸡数"

为6，就有脚数

19×

10+11×

6=256.

比280少24.

（19-11）=3,

就知道设想6只"

要少3只。

要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.

下面再举四个稍有难度的例子。

例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。

甲打字用了多少小时？

我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷

6=5（份），乙每小时