第二章二次函数与命题高中数学竞赛标准教材Word格式.docx

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2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x}和空集，f（x）的图象与x轴有唯一公共点。

3）当△&

0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和f（x）图象与x轴无公共点。

0时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：

若a&

0，当x=x0时，f（x）取最小值f（x0）=,若a&

0，则当x=x0=时，f（x）取最大值f（x0）=对于给定区间[,n]上的二次函数f（x）=ax2+bx+（a&

0），当x0∈[,n]时，f（x）在[,n]上的最小值为f（x0）;

当x0&

时。

f（x）在[,n]上的最小值为f（）；

当x0&

n时，f（x）在[,n]上的最小值为f（n）（以上结论由二次函数图象即可得出）。

定义1能判断真假的语句叫命题，如“3&

”是命题，“萝卜好大”不是命题。

不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

注1“p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；

“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；

p与“非p”即“p”恰好一真一假。

定义2原命题：

若p则q（p为条，q为结论）；

逆命题：

若q则p；

否命题：

若非p则q；

逆否命题：

若非q则非p。

注2原命题与其逆否命题同真假。

一个命题的逆命题和否命题同真假。

注3反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条；

如果qp，则称p是q的必要条；

如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条；

如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条；

若pq且qp，则p是q的充要条。

二、方法与例题

1．待定系数法。

例1设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f（α）=β,f（β）=α,f

（1）=1的二次函数f（x）

【解】设f（x）=ax2+bx+（a0）,

则由已知f（α）=β,f（β）=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，

因为方程x2-x+1=0中△0，

所以αβ，所以（α+β）a+b+1=0

又α+β=1,所以a+b+1=0

又因为f

（1）=a+b+=1，

所以-1=1，所以=2

又b=-（a+1），所以f（x）=ax2-（a+1）x+2

再由f（α）=β得aα2-（a+1）α+2=β,

所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0

即a（α2-α+1）+1-a=0,即1-a=0，

所以a=1,

所以f（x）=x2-2x+2

2．方程的思想。

例2已知f（x）=ax2-满足-4≤f

（1）≤-1,-1≤f

（2）≤，求f（3）的取值范围。

【解】因为-4≤f

（1）=a-≤-1,

所以1≤-f

（1）=-a≤4

又-1≤f

（2）=4a-≤,f（3）=f

（2）-f

（1）,

所以×

（-1）+≤f（3）≤×

+×

4,

所以-1≤f（3）≤20

3．利用二次函数的性质。

例3已知二次函数f（x）=ax2+bx+（a,b,∈R,a0），若方程f（x）=x无实根，求证：

方程f（f（x））=x也无实根。

【证明】若a&

0，因为f（x）=x无实根，所以二次函数g（x）=f（x）-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f（x）-x&

0即f（x）&

x，从而f（f（x））&

f（x）。

所以f（f（x））&

x，所以方程f（f（x））=x无实根。

注：

请读者思考例3的逆命题是否正确。

4．利用二次函数表达式解题。

例4设二次函数f（x）=ax2+bx+（a&

0），方程f（x）=x的两根x1,x2满足0&

x1&

x2&

（Ⅰ）当x∈（0,x1）时，求证：

f（x）&

x1；

（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于x=x0对称，求证：

x0&

【证明】因为x1,x2是方程f（x）-x=0的两根，所以f（x）-x=a（x-x1）（x-x2），

即f（x）=a（x-x1）（x-x2）+x

（Ⅰ）当x∈（0,x1）时，x-x1&

0,x-x2&

0,a&

0，所以f（x）&

x

其次f（x）-x1=（x-x1）[a（x-x2）+1]=a（x-x1）[x-x2+]&

x1

综上，x&

（Ⅱ）f（x）=a（x-x1）（x-x2）+x=ax2+[1-a（x1+x2）]x+ax1x2,

所以x0=,

所以，

所以

．构造二次函数解题。

例已知关于x的方程（ax+1）2=a2（a-x2）,a&

1，求证：

方程的正根比1小，负根比-1大。

【证明】方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0

构造f（x）=2a2x2+2ax+1-a2,

f

（1）=（a+1）2&

0,f（-1）=（a-1）2&

0,f（0）=1-a2&

0,即△&

0，

所以f（x）在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。

即方程的正根比1小，负根比-1大。

6．定义在区间上的二次函数的最值。

例6当x取何值时，函数=取最小值？

求出这个最小值。

【解】=1-,令u,则0&

u≤1。

=u2-u+1=,

且当即x=3时，in=

例7设变量x满足x2+bx≤-x（b&

-1），并且x2+bx的最小值是，求b的值。

【解】由x2+bx≤-x（b&

-1），得0≤x≤-（b+1）

ⅰ）-≤-（b+1），即b≤-2时，x2+bx的最小值为-，所以b2=2，所以（舍去）。

ⅱ）-&

-（b+1），即b&

-2时，x2+bx在[0，-（b+1）]上是减函数，

所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-

综上，b=-

7一元二次不等式问题的解法。

例8已知不等式组①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。

【解】因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a,x2=1-a,

若a≤0，则x1&

x2①的解集为a&

1-a，由②得x&

1-2a

因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。

0，ⅰ）当0&

a&

时，x1&

x2,①的解集为a&

1-a

因为0&

1-a&

1，所以不等式组无整数解。

ⅱ）当a=时，a=1-a，①无解。

ⅲ）当a&

时，a&

1-2a，

所以不等式组的解集为1-a&

a

又不等式组的整数解恰有2个，

所以a-（1-a）&

1且a-（1-a）≤3，

所以1&

a≤2，并且当1&

a≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。

综上，a的取值范围是1&

a≤2

8．充分性与必要性。

例9设定数A，B，使得不等式

A（x-）（x-z）+B（-z）（-x）+（z-x）（z-）≥0①

对一切实数x,,z都成立，问A，B，应满足怎样的条？

（要求写出充分必要条，而且限定用只涉及A，B，的等式或不等式表示条）

【解】充要条为A，B，≥0且A2+B2+2≤2（AB+B+A）

先证必要性，①可改写为A（x-）2-（B-A-）（-z）（x-）+（-z）2≥0②

若A=0，则由②对一切x,,z∈R成立，则只有B=，再由①知B==0，若A0，则因为②恒成立，所以A&

0，△=（B-A-）2（-z）2-4A（-z）2≤0恒成立，所以（B-A-）2-4A≤0，即A2+B2+2≤2（AB+B+A）

同理有B≥0，≥0，所以必要性成立。

再证充分性，若A≥0，B≥0，≥0且A2+B2+2≤2（AB+B+A），

1）若A=0，则由B2+2≤2B得（B-）2≤0，所以B=，所以△=0，所以②成立，①成立。

2）若A&

0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。

综上，充分性得证。

9．常用结论。

定理1若a,b∈R,|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

【证明】因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-（|a|+|b|）≤a+b≤|a|+|b|,

所以|a+b|≤|a|+|b|（注：

若&

0，则-≤x≤等价于|x|≤）

又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,

即|a|-|b|≤|a+b|综上定理1得证。

定理2若a,b∈R,则a2+b2≥2ab；

若x,∈R+,则x+≥

（证略）

注定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一中详细论证。

三、基础训练题

1．下列四个命题中属于真命题的是________，①“若x+=0，则x、互为相反数”的逆命题；

②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。

2．由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是_________①p；

3是偶数，q：

4是奇数；

②p:

3+2=6,q:

③p:

a∈（a,b）,q:

{a}{a,b};

④p:

QR,q:

N=Z

3当|x-2|&

a时，不等式|x2-4|&

1成立，则正数a的取值范围是________

4不等式ax2+（ab+1）x+b&

0的解是1&

2，则a,b的值是____________

x1且x2是x-1的__________条，而-2&

&

0且0&

n&

1是关于x的方程x2+x+n=0有两个小于1的正根的__________条

6命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________

7若S={x|x2+x+2=0}的子集至多有2个，则的取值范围是_________

8R为全集，A={x|3-x≥4},B=,则（RA）∩B=_________

9设a,b是整数，集合A={（x,）|（x-a）2+3b≤6}，点（2，1）∈A，但点（1，0）A，（3，2）A则a,b的值是_________

10．设集合A={x||x|&

4},B={x|x2-4x+3&

0}，则集合{x|x∈A且xA∩B}=_________