小学奥数同余问题Word格式.doc

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（2）当时：

我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

一个完美的带余除法讲解模型:

如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：

23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等

于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×

16除以5的余数等于3×

1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×

19除以5的余数等于3×

4除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：

a≡b（modm），左边的式子叫做同余式。

同余式读作：

a同余于b，模m。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

用式子表示为：

如果有a≡b（modm），那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|（a－b）

三、弃九法原理：

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

检验算式

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九发原理：

任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

注意：

弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。

这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理：

1.中国古代趣题：

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：

“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

”答曰：

“二十三。

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：

假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：

因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法：

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

先由，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以，很显然70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

，其中k是从1开始的自然数。

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，

那么我们可以计算得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

例题精讲：

【模块一：

带余除法的定义和性质】

【例1】（第五届小学数学报竞赛决赛）用某自然数去除，得到商是46，余数是，求和．

【解析】因为是的倍还多,得到，得，所以，．

【巩固】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数．

【解析】（法1）因为甲乙，所以甲乙乙乙乙；

则乙，甲乙．

（法2）将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：

从中减掉以后，就应当是乙数的倍，所以得到乙数，甲数．

【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。

方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；

或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。

本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×

7×

13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.

【例2】（年全国小学数学奥林匹克试题）有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？

【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：

除数=（2083-13）÷

（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．

【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？

【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。

根据题意设两个自然数分别为x,y，可以得到

解方程组得，即这两个自然数分别是856，21.

【例3】（2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

【解析】设所得的商为，除数为．，，由，可求得，．所以，这三个数分别是，，。

【巩固】（2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题）一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．

【解析】设这个自然数除以11余，除以9余，则有，即，只有，，所以这个自然数为。

【例4】（1997年我爱数学少年数学夏令营试题）有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；

每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；

每人4本，书不够．问：

第二组有多少人?

【解析】由，知，一组是10或11人．同理可知，知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．

【巩固】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．

【解析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于，并且小于；

又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为．

【模块二：

三大余数定理的应用】

【例5】有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数.

【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：

这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，的约数有，所以这个数可能为。

【巩固】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

【解析】（法1），，，12的约数是，因为余数为3要小于除数，这个数是；

（法2）由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，所以这个数是．

【巩固】在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?

（余数可以为0）

【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．

1～198之间只有1，2，3，…，17，198（余O）这18个数除以18及33所得的余数相同，

而999÷

198=5……9，所以共有5×

18+9=99个这样的数．

【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？

【解析】设这个三位数为，它除以17和19的商分别为和，余数分别为和，则．

根据题意可知，所以，即，得．所以是9的倍数，是8的倍数．此时，由知．

由于为三位数，最小为100，最大为999，所以，而，

所以，，得到，而是9的倍数，所以最小为9，最大为54．

当时，，而，所以，故此时最大为；

当时，，由于，所以此时最小为．

所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．

【例6】两位自然数与除以7都余1，并