相似三角形的判定定理及练习汇编Word格式文档下载.docx

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1、相似三角形的判定：

判定定理1：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：

两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：

如图，∠1=∠2=∠3，求证：

△ABC∽△ADE．

例2、如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC,

求证：

△ABC∽△DEF.

判定定理2：

如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

简单说成：

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？

说说你的理由．

例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？

（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。

判定定理3：

如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

三边对应成比例，两三角形相似．

　　①有平行线时，用预备定理；

　　②已有一对对应角相等（包括隐含的公共角或对顶角）时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；

　　③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．

2、直角三角形相似的判定：

斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：

△ADQ∽△QCP．

例2、如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60cm,CD=40cm,BD=140cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?

请说明理由.

例3、已知：

AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°

，

EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

（1）△AME∽△NMD

（2）ND2=NC·

NB

　　①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；

　　②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似）

③如图，可简单记为：

在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．

④补充射影定理。

三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

类型

斜三角形

直角三角形

全等三角形的判定

SAS

SSS

AAS（ASA）

HL

相似三角形

的判定

两边对应成比例夹角相等

三边对应成比例

两角对应相等

一条直角边与斜边对应成比例

相似三角形的几种基本图形：

（1）如图：

称为“平行线型”的相似三角形

（2）如图：

其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

（3）如图：

∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

二、例题分析

1、下列说法不正确的是（）

A、两对应角相等的三角形是相似三角形；

B、两对应边成比例的三角形是相似三角形；

C、三边对应成比例的三角形是相似三角形；

D、以上有两个说法是正确。

2、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有（）

A、2对B、3对C、4对D、5对

3、如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>

AC），则下列条件不一定能保证△ACP∽△ABC的有（）

A、∠ACP=∠BB、∠APC=∠ACBC、D、

4、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：

①BC=2DE；

②△ADE∽△ABC；

③；

其中正确的有（）

A、3个B、2个　　　C、1个D、0个

5、如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数是　　　　　　。

6、小明的身高是1.6m，他的影长为2m，同一时刻教学楼的影长为24m，则教学楼的高是

；

7、已知AD为Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，则AD=，CD=。

8、如图四，在平行四边形ABCD中，AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=_________cm

9、已知:

如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:

ΔABC∽ΔEAD.

10、已知，如图，D为△ABC内一点，连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD

△DBE∽△ABC

11、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°

，BD是角平分线，求证：

△ABC∽△BCD

据调查，大学生对此类消费的态度是：

手工艺制品消费比“负债”消费更得人心。

尽管售价不菲，但仍没挡住喜欢它的人来来往往。

这里有营业员们向顾客们示范着制作各种风格迥异的饰品，许多顾客也是学得不亦乐乎。

在现场，有上班族在里面精挑细选成品，有细心的小女孩在仔细盘算着用料和价钱，准备自己制作的原料。

可以想见，用本来稀奇的原料，加上别具匠心的制作，每一款成品都必是独一无二的。

而这也许正是自己制造所能带来最大的快乐吧。

12、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？

请证明你的结论。

但这些困难并非能够否定我们创业项目的可行性。

盖茨是由一个普通退学学生变成了世界首富，李嘉诚是由一个穷人变成了华人富豪第一人，他们的成功表述一个简单的道理：

如果你有能力，你可以从身无分文变成超级富豪；

如果你无能，你也可以从超级富豪变成穷光蛋。

因为是连锁店，老板的“野心”是开到便利店那样随处可见。

所以办了积分卡，方便女孩子到任何一家“漂亮女生”购物，以求便宜再便宜。

“碧芝”最吸引人的是那些小巧的珠子、亮片等，都是平日里不常见的。

据店长梁小姐介绍，店内的饰珠有威尼斯印第安的玻璃珠、秘鲁的陶珠、奥地利的施华洛世奇水晶、法国的仿金片、日本的梦幻珠等，五彩缤纷，流光异彩。

按照饰珠的质地可分为玻璃、骨质、角质、陶制、水晶、仿金、木制等种类，其造型更是千姿百态：

珠型、圆柱型、动物造型、多边形、图腾形象等，美不胜收。

全部都是进口的，从几毛钱一个到几十元一个的珠子，做一个成品饰物大约需要几十元，当然，还要决定于你的心意尽管售价不菲，却仍没挡住喜欢它的人。

2、你大部分的零用钱用于何处？

13、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．

（1）；

（2）

据了解，百分之八十的饰品店都推出“DIY饰品”来吸引顾客，一方面顺应了年轻一代喜欢与众不同、标新立异的心理；

另一方面，自制饰品价格相对较低，可以随时更新换代，也满足了年轻人“喜新厌旧”的需要，因而很受欢迎。

14、已知如图，∠A=90°

，D是AB上任意一点，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB，

（1）专业知识限制求证：

AD=BF

15、有一块三角形的土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米。

某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上。

若大楼的宽是40米（即DE＝40米），求这个矩形的面积。

16.如图，在平行四边形ABCD中，，分别以为边向外作和，使．延长交边于点，点在两点之间，连结．

（1）求证：

．

（2）当时，求的度数．