组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页.doc
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1.1题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足
（1）|a-b|=5；
（2）|a-b|5；
解：
（1）：
由|a-b|=5a-b=5或者a-b=-5，
由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：
由题意知，|a-b|5|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；
由上题知当|a-b|=5时有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，
当|a-b|=0时有50对
所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520
1.2题5个女生，7个男生进行排列，（a）若女生在一起有多少种不同的排列？
（b）女生两两不相邻有多少种不同的排列？
（c）两男生A和B之间正好有3个女生的排列是多少？
解：
（a）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：
8！
×5！
，
（b）用x表示男生，y表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺，
YXYXYXYXYXYXYXY
在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数：
C（8，5）×7！
×5！
（c）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下：
6.若A，B之间存在0个男生， A，B之间共有3个人，所有的排列应为P6=C（5,3）*3!
*8!
*2
1．若A，B之间存在1个男生， A，B之间共有4个人，所有的排列应为P1=C（5,1）*C（5,3）*4!
*7!
*2
2．若A，B之间存在2个男生，A，B之间共有5个人，所有的排列应为P2=C（5,2）*C（5,3）*5!
*6!
*2
3．若A，B之间存在3个男生，A，B之间共有6个人，所有的排列应为P3=C（5,3）*C（5,3）*6!
*5!
*2
4．若A，B之间存在4个男生，A，B之间共有7个人，所有的排列应为P4=C（5,4）*C（5,3）*7!
*4!
*2
5．若A，B之间存在5个男生，A，B之间共有8个人，所有的排列应为P5=C（5,5）*C（5,3）*8!
*3!
*2
所以总的排列数为上述6种情况之和。
1.3题m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若
（a）男生不相邻;（b）n个女生形成一个整体；（c）男生A和女生B排在一起；
分别讨论有多少种方案。
解：
（a）可以考虑插空的方法。
n个女生先排成一排，形成n+1个空。
因为正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。
则男生不相邻的排列个数为
（b）n个女生形成一个整体有n！
种可能，把它看作一个整体和m个男生排在一起，则排列数有（m+1）!
种可能。
因此，共有种可能。
（c）男生A和女生B排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有2！
种可能，
A、B组合在一起和剩下的学生组成排列有（m+n-1）！
（这里实际上是m+n-2个学生和AB的组合形成的）种可能。
共有组合数为
1.4题26个英文字母进行排列，求x和y之间有5个字母的排列数
解：
C（24，5）*13！
1.5题求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。
解：
根据题意，千位可以从3，4，5，7，6中选取，个位可以从1，3，5，7，9中选取；因此2*5*8*7+3*4*8*7=1232
1.6题计算，1·1！
+2·2！
+3·3！
+。
。
。
+n·n！
解：
由序数法公式可知1!
+1=2!
2·2!
+1·1!
+1=3!
3·3！
+2·2！
+1·1！
+1=4！
n·n!
+（n-1）（n-1）!
+。
。
。
+2·2!
+1·1!
+1=（n+1）!
所以1·1！
+2·2！
+3·3！
+。
。
。
+n·n！
=（n+1）!
－１
1.7题试证：
被2n除尽。
证明：
因
因为（2n-1）!
!
是整数所以能被2n除尽。
1．8题求和的公因数数目。
解：
因为
它们最大公因子为转化为求最大公因子能除尽的整数个数，能除尽它的整数是
根据乘法法则，能除尽它的数个数为41*31=1271
1.9题试证的正除数的数目是奇数。
证明：
设有,则一定有表达式，
则可知符合范围的和必成对出现，所以为偶数。
又当a=b=n时，表达式=ab仍然成立。
所以的正除数的数目是“偶数”为奇数。
1.10题证任一正整数n可唯一地表成如下形式:
0≤ai≤i,i＝1,2,…。
证：
对n用归纳法。
先证可表示性：
当n=0,1时，命题成立。
假设对小于n的非负整数，命题成立。
对于n,设k!
≤n＜（k+1）!
即0≤n-k!
＜k·k!
由假设对n-k!
命题成立，设，其中ak≤k-1,，命题成立。
再证表示的唯一性：
设,不妨设aj＞bj,令j=max{i|ai≠bi}
aj·j!
+aj-1·（j-1）!
+…+a1·1!
=bj·j!
+bj-1·（j-1）!
+…+b1·1!
矛盾，命题成立。
1.11题证明nC（n-1,r）=（r+1）C（n,r+1）,并给予组合解释.
证：
所以左边等于右边
组合意义：
等式左边：
n个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r个；
等式右边：
n个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。
所以两种方案数相同。
1.12题证明等式：
证明：
1.13题有N个不同的整数，从中间取出两组来，要求第1组的最小数大于另一组的最大数。
解题思路：
（取法由大到小）
第1步：
从N个数由大到小取一个数做为第一组，其它N-1个数为第二组，
组合数为：
c（n,1）*{c（n-1,1）+c（n-1,2）-…+c（n-1,n-1）}
第2步：
从N个数由大到小取两个数做为第一组，其它N-2个数为第二组，
组合数为：
c（n,2）*{c（n-2,1）+c（n-2,2）-…+c（n-2,n-2）}
…
第n-2步：
从N个数由大到小取n-2个数做为第一组，其它2个数为第二组，组合数为：
c（n,n-2）*{c（2,1）}
第n-1步：
从N个数由大到小取n-1个数做为第一组，其它1个数为第二组，组合数为：
c（n,n-1）*{c（1,1}
总的组合数为：
1.14题6个引擎分列两排，要求引擎的点火顺序两排交错开来，试求从特定一引擎开始有多少种方案？
解：
第1步从特定引擎对面的3个中取1个有C（3,1）种取法，
第2步从特定引擎一边的2个中取1个有C（2,1）种取法，
第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C（2,1）中取法，剩下的每边1个取法固定。
所以共有C（3,1）•C（2,1）•C（2,1）=12种方案。
1.15题求1至1000000中0出现的次数。
解：
当第一位为0时，后面6位组成的数可以从1-100000，共100000个0；
当第二位为0时，当第一位取0-9时，后面5位可以取1-9999，此外当第一位取0时，后面5位还可以取为10000，这样共有9999*10+1=99991个0；
同理第三位为0时，共有99901个0；第四位为0时，共有99001个0；第五位为0时，共有90001个0；第六位为0时，只有1个0；
这样总共的0数为：
100000+99991+99901+99001+90001+1=488895。
1.16题n个相同的球放到r个不同的盒子里，且每个盒子里不空的放法。
解：
如果用“O”表示球，用“|”表示分界线，就相当于用r-1个“|”把n个“O”分成r份，要求是每份至少有一个球。
如下图所示：
00|00000000|00000000|00000|000000……
对于第一个分界线，它有n-1种选择，对于第二个分界线只有n-2个选择，（因为分界线不能相临，如果相临它们之间就没有了球，这不合要求），依次第r-1个分界线只有n-（r-1）种选择。
但是这样的分法中存在重复，重复度为（r-1）!
所以总得放法为：
（n-1）*（n-2）*…*（n-r+1）/（r-1）!
=C（n-1,r-1）。
1.18题8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子中，每盒最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？
解：
要求空盒不相邻，这样球的位置共有8种。
而不同标志的球的排列有。
所以共有8*5！
种排列。
8种排列如下两类。
因为要求空盒不相邻，途中1代表球
a）1111
b）1111
在a）中剩下的一个球有四种位置，b）中剩下的一个球也有四种位置，两者合起来一共有8种
1.17题和都是正整数，而且，试证下列等式：
解：
（a）等式成立。
（b）等式成立。
（c）等式成立。
（d）
（e）利用（d）的结论可证明本题。
1.19题n+m位由m个0，n个1组成的符号串，其中n≤m+1,试问不存在两个1相邻的符号串的数目。
解：
m个0进行排列，留出m+1个空挡，任选n个空挡放1，共有C（m+1,n）种方案.
1.21题一个盒子里有7个无区别的白球，5个无区别的黑球，每次从中随机取走一个球，已知前面取走6个，其中3个是白的，试问取第6个球是白球的概率。
解：
C（6,2）*C（5,2）*C（5,3）/C（5,3）C（7,3）C（6,3）=3/14
1.20题甲单位有10个男同志，4个女同志，乙单位有15个男同志，10个女同志，由他们产生一个7人的代表团，要求其中甲单位占4人，而且7人中男同志占5人，试问有多少中方案？
解：
1.甲单位出4个男同志，乙单位出1个男同志，从乙单位出2个女同志C（10,4）*C（15,1）*C（10,2）=141750
2..甲单位出3个男同志，乙单位出2个男同志，从甲单位出1个女同志,从乙单位出1个女同志。
C（10,3）*C（15,2）*C（4.1）*C（10,1）=504000
3..甲单位出2个男同志，乙单位出3个男同志，从甲单位出2个女同志.C（10,2）*C（15,3）*C（4,2）=122850
1+2+3即为所求，总的方案数为768600
P
C
A
B
1.22题求图1-22中从O到P的路经数:
（a）路径必须经过A点;（b）路径必须过道路AB;
（c）路径必须过A和C（d）道路AB封锁（但A,B两点开放）
解:
（a）分两步走O（0,0）→A（3,2）A（3,2）→P（8,5），根据乘法法则:
（b）分两步走O（0,0）→A（3,2）,B（4,2）→P（8,5），根据乘法法则:
（c）分三步走:
O（0,0）→A（3,2）,A（3,2）→C（6,3）,C（6,
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