高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形44函数yAsinωx+φ的图像及应用学案理北师大版Word格式.docx

高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形44函数yAsinωx+φ的图像及应用学案理北师大版Word格式.docx

《高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形44函数yAsinωx+φ的图像及应用学案理北师大版Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形44函数yAsinωx+φ的图像及应用学案理北师大版Word格式.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

φ

2.用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0，x∈R）一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示：

x

π

2π

y＝Asin（ωx＋φ）

－A

3.函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0）的图像的两种途径

知识拓展

1．函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k图像平移的规律：

“左加右减，上加下减”．

2．由y＝sinωx到y＝sin（ωx＋φ）（ω>

0，φ>

0）的变换：

向左平移个单位长度而非φ个单位长度．

3．函数y＝Asin（ωx＋φ）的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；

对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）y＝sin的图像是由y＝sin的图像向右平移个单位长度得到的．（　√　）

（2）将函数y＝sinωx的图像向右平移φ（φ>

0）个单位长度，得到函数y＝sin（ωx－φ）的图像．（　×

　）

（3）函数y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.（　√　）

（4）由图像求函数解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图像中最高点的值与最低点的值确定的．（　√　）

题组二　教材改编

2．为了得到函数y＝2sin的图像，可以将函数y＝2sin2x的图像（　　）

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

答案　A

3．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为（　　）

A．2,4π，B．2，，

C．2，，－D．2,4π，－

答案　C

解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.

4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b，则这段曲线的函数解析式为．

答案　y＝10sin＋20，x∈[6,14]

解析　从图中可以看出，从6～14时的是函数

y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半个周期，

所以A＝×

（30－10）＝10，

b＝×

（30＋10）＝20，

又×

＝14－6，

所以ω＝.

10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，

所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．

题组三　易错自纠

5．要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin4x的图像（　　）

A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度

答案　B

解析　∵y＝sin＝sin，

∴要得到y＝sin的图像，只需将函数y＝sin4x的图像向右平移个单位长度．

6．（xx·

全国Ⅰ）将函数y＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（　　）

A．y＝2sinB．y＝2sin

C．y＝2sinD．y＝2sin

答案　D

解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图像向右平移个周期即个单位长度，

所得函数为y＝2sin＝2sin，

故选D.

7．（xx·

长春模拟）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示，则函数f（x）的解析式为．

答案　f（x）＝sin

解析　由题图可知A＝，

＝－＝，

所以T＝π，故ω＝2，

因此f（x）＝sin（2x＋φ），

又为最小值点，

所以2×

＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

所以φ＝2kπ＋，k∈Z，

又|φ|＜π，

所以φ＝.

故f（x）＝sin.

题型一　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及变换

典例已知函数y＝2sin.

（1）求它的振幅、周期、初相；

（2）用“五点法”作出它在一个周期内的图像；

（3）说明y＝2sin的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变换而得到．

解　

（1）y＝2sin的振幅A＝2，

周期T＝＝π，初相φ＝.

（2）令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.

列表如下：

－

X

y＝sinX

1

－1

y＝2sin

2

－2

描点画出图像，如图所示：

（3）方法一　把y＝sinx的图像上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像；

再把y＝sin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y＝sin的图像；

最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y＝2sin的图像．

方法二　将y＝sinx的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到y＝sin2x的图像；

再将y＝sin2x的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图像；

再将y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），即得到y＝2sin的图像．

思维升华

（1）y＝Asin（ωx＋φ）的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．

（2）由函数y＝sinx的图像通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）图像有两条途径：

“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

跟踪训练

（1）（xx·

石家庄调研）若把函数y＝sin的图像向左平移个单位长度，所得到的图像与函数y＝cosωx的图像重合，则ω的一个可能取值是（　　）

A．2B.C.D.

解析　y＝sin和函数y＝cosωx的图像重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.∴2是ω的一个可能值．

（2）把函数y＝sinx的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移个单位长度，得到的函数图像的解析式是．

答案　y＝cos2x

解析　由y＝sinx图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的解析式为y＝sin2x，再向左平移个单位长度得y＝sin2，即y＝cos2x.

题型二　由图像确定y＝Asin（ωx＋φ）的解析式

典例

（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）的部分图像如图所示，则y＝.

答案　2sin

解析　由题图可知，A＝2，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×

＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.

（2）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的部分图像如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为．

答案　

解析　根据所给图像，周期T＝4×

＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f（x）＝sin（2x＋φ），另外图像经过点，代入有2×

＋φ＝π＋2kπ（k∈Z），再由|φ|<

，得φ＝－，∴f（x）＝sin，∴f＝sin，当2x＋＝－＋2kπ（k∈Z），即x＝－＋kπ（k∈Z）时，y＝f取得最小值．

思维升华y＝Asin（ωx＋φ）中φ的确定方法

（1）代入法：

把图像上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图像的最高点或最低点代入．

（2）五点法：

确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．

跟踪训练（xx·

石家庄质检）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的部分图像如图所示，将函数f（x）的图像向左平移m（m>

0）个单位长度后，得到函数g（x）的图像关于点对称，则m的值可能为（　　）

A.B.

C.D.

解析　依题意得解得

＝＝－＝，

故ω＝2，则f（x）＝sin（2x＋φ）＋.

又f＝sin＋＝，

故＋φ＝＋2kπ（k∈Z），即φ＝＋2kπ（k∈Z）．

因为|φ|<

，故φ＝，

所以f（x）＝sin＋.

将函数f（x）的图像向左平移m个单位长度后得到g（x）＝sin＋的图像，又函数g（x）的图像关于点对称，即h（x）＝sin的图像关于点对称，故sin＝0，即＋2m＝kπ（k∈Z），故m＝－（k∈Z）．令k＝2，则m＝.

题型三　三角函数图像性质的应用

命题点1　三角函数模型

典例如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：

m）的最大值为（　　）

A．5B．6C．8D．10

解析　由题干图得ymin＝k－3＝2，则k＝5.

∴ymax＝k＋3＝8.

命题点2　函数零点（方程根）问题

典例已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是．

答案　（－2，－1）

解析　方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可转化为

m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x

＝2sin，x∈.

设2x＋＝t，则t∈，

∴题目条件可转化为＝sint，t∈有两个不同的实数根．

∴y1＝和y2＝sint，t∈的图像有两个不同交点，如图：

由图像观察知，的取值范围是，

故m的取值范围是（－2，－1）．

引申探究

本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是．

答案　[－2,1）

解析　由上例题知，的取值范围是，

∴－2≤m<

1，

∴m的取值范围是[－2,1）．

命题点3　三角函数图像性质的综合

典例（xx·

潍坊模拟）已知函数f（x）＝sin（ω>

0）的图像与x轴相邻两个交点的距离为.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若将f（x）的图像向左平移m（m>

0）个单位长度得到函数g（x）的图像恰好经过点，求当m取得最小值时，g（x）在上的递增区间．

解　

（1）函数f（x）的图像与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f（x）的最小正周期为T＝2×

＝，得ω＝1，

故函数f（x）的解析式为f（x）＝sin.

（2）将f（x）的图像向左平移m（m>

0）个单位长度得到函数g（x）＝sin＝sin的图像，根据g（x）的图像恰好经过点，

可得sin＝0，即sin＝0，

所以2m－＝kπ（k∈Z），m＝＋（k∈Z），

因为m>

0，

所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.

此时，g（x）＝sin.

因为x∈，所以2x＋∈.

当2x＋∈，即x∈时，g（x）是增加的，

当2x＋∈，即x∈时，g（x）是增加的．

综上，g（x）在区间上的单调递增区间是和.

思维升华

（1）三角函数模型的应用体现在两方面：

一是已知函数模型求解数学问题；

二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．

（2）方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数．

（3）研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，