高三理科数学三角函数解题方法例子[1]Word文档格式.doc

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tanα=tan[（α-β）+β]=，∴α∈（0，）

tanβ=-∴β∈（π），∴2α-β∈（-π，0）

tan2（α-β）=

∴tan（α-β）=tan[2（α-β）+β]==1所以2α-β=-

例3：

已知tan2θ=-2，θ∈（），求：

的值。

原式=

∵tan2θ=-2,2θ∈（,π）,令2θ终边上一点为的坐标P（x,y）,设y=2,x=1,则r=3

∴cos2θ=,sinθ=

所以原式=

例4：

化简：

∵tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）

说明：

这里实际上是运用的两角和（差）的正切公式tan（α+β）=变形，把tanα+tanβ用α+β的正切及tanα·

tanβ来表示，这类问题在三角求值问题中也常遇到，如求tan（15°

-α）tan（75°

-α）+tan（15°

-α）·

tan2α+tan（75°

-α）·

tan2α的值等等。

例5：

已知，且，求cosα

解：

∵sinα+sin3α=2sin2α·

cosαcosα+cos3α=2cos2α·

cosα

∴sin2αsinα=-4cosα·

cos2α∵∴cosα≠0

∴2sin2α=-cos2α即3cos2α=1∴cosα=-

例6：

已知5sinβ=sin（2α+β）,求证

从角的关系入手，首先考虑结论中的两个角是α+β，α，而已知条件中的两个角可以用α+β，α来表示，然后再运用两角和差的正余弦公式即可。

证明：

∵5sinβ=sin（2α+β）

∴5sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]

∴5sin（α+β）cosα-5cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα

即4sin（α+β）cosα=6cos（α+β）sinα

∴

例7：

在ΔABC中，已知sinA=3/5,cosB=5/13，求cosC的值。

由于三角形内角和为180°

所以求cosC的值即求-cos（A+B）的值，由cosB=5/13可知sinB=12/13但由sinA=3/5可得cosA=±

4/5，在这里到底是两种情形都存在，还是只有一种情形，我们要加以判别，这是此题的关键所在。

方法一：

∵sinA=∈∴A∈（30°

，45°

）∪（135°

，150°

）

又cosB=∴B∈（60°

90°

），此时若A∈（135°

150°

则A+B>

180°

不能构成三角形，A∈（30°

45°

∴cosC=cos（180°

-A-B）=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=16/65

方法二:

∵sinA=3/5,∴cosA=±

4/5cosB=5/13∴sinB=12/13

⑴若cosA=-4/5,则sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-33/65<

0不合题意

⑵若cosA=4/5,则cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=16/65,综上所述：

cosC=16/65

例8：

求函数f（x）=的最大值。

此题看上去似乎是一个代数中无理函数求最值的习题，但直接假设是不可能求出解的，这时我们可以先注意函数f（x）的定义域x∈[-2,2]，即x/2∈[-1,1]，由三角函数的性质可以设x/2=cosθ,θ∈[0,π],这样就把代数最值问题转化为三角最值问题了，从而使问题很快解决。

∵4-x2≥0∴-2≤x≤2,令x=2cosθθ∈[0,π]

则f（x）=cosθ-2+=2sinθ+cosθ-2=sin（θ+φ）-2

其中tanφ=1/2,φ=arctan1/2,此时arctan1/2≤θ+φ≤π+arctan1/2

∴sin（θ+ф）的最大值为1

当θ+φ=π/2即θ=π/2-arctan1/2时“=”成立

∴f（x）≤-2即f（x）的最大值为-2

【每周一练】

一、选择题：

1、若tan（α+β）=2/5tan（β-π/4）则tan（α+π/4）的值为（）

A、B、C、D、

2、ΔABC中，A>

B是sinA>

sinB的（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件

C、充要条件D、既不充分也不必要条件

3、已知tanα=1/7,tanβ=1/3,α、β均为锐角，则α+2β的值是：

（）

A、B、C、D、

4、已知cotα=2，tan（α-β）=-，则tan（β-2α）等于（）

A、B、-C、C、-

5、若sin4θ+cos4θ=1，则sinθ+cosθ的值是（）

A、1B、-1C、-1和1D、以上均不正确

6、已知且α、β满足，则tanβ等于（）

A、B、C、D、

7、（其中）的值为（）

A、4B、-4C、2D、-2

8、函数y=3sin（x+20°

）+5sin（x+80°

）的最大值是：

（）

A、B、C、7D、8

9、在ΔABC中，若sin（A+B）sin（A-B）=sin2C，则ΔABC的形状是（）

A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰三角形

10、若，且，则cos2α的值是（）

A、B、C、D、或

11、设，k∈Z，T=.则T为（）

A、正值B、非负值C、负值D、可正可负

二、填空题：

12、已知且0≤x≤p，则tanx=

13、

14、

15、若，则

16、化简3+tan（A+60°

）tan（A-60°

）+tanA·

tan（A+60°

tan（A-60°

）为

17、若α是第二象限的角，且则=

18、ΔABC，若cosA·

cosB+sinA·

cosB+cosA·

sinB+sinA·

sinB=2,则ΔABC是

19、=

三、解答题：

20、已知，求的值。

21、化简：

22、已知θ为锐角，并且sinθ-cosθ=1/2,求1-sinθ+sin2θ-sin3θ+…的值

23、已知的值

24、ΔABC中，若tanA、tanB是方程x2+mx+1=0的两个根，

（1）求tan（A+B）；

（2）求实数m的取值范围。

25、已知圆o的半径为R，它的内接三角形ABC中2R（sin2A-sin2C）=（a-b）sinB成立，求SΔABC的最大值。

26、对于任一实数a，设y=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为f（a）

（1）求f（a）

（2）若f（a）=求：

a

【每周一练答案】

一、选择题

1、B2、C3、A4、B5、C6、D7、B8、C9、C10、C11、A

二、填空题

12、0或13、-14、2-15、3-216、0

17、-118、等腰直角三角形19、1

三、解答题

20、21、

22、解：

sinθ∈（0，1）∴-sinθ∈（-1,0）

原式=，又由sinθ-cosθ=得tanθ/2=

∴原式=

23、由条件知cosx-sinx=cosx+sinx=,∴cosx=-,sinx=

∴tanx=7∴原式=

24、

（1）tan（A+B）=1

（2）由题意知0<

tanA，tanB<

1即方程x2+mx+m+1=0的两根在区间（0，1）内，则-1<

m≤

25、

26、

（1）f（a）=

（2）a=-1

高三数学----三角函数续

【教学内容】

三角函数

1、学习三角函数，首先要牢固掌握三角函数的定义、性质、图象等基础知识，并熟练掌握和、差、倍、半以及和差化积、积化和差公式。

2、要熟练掌握三角函数的定义，三角函数值的符号，掌握同角三角函数的三种关系及诱导公式，并能运用它求任意角的三角函数值。

3、熟练掌握基本三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx的定义域；

并能结合代数函数定义域的求法，求出与三角函数有关的函数的定义域。

了解单位圆中的正、余弦线，并用它来求简单三角不等式的解集。

4、三角函数的单调区间是定义域的子集，应在确定定义域后再求出单调区间；

而比较三角函数值的大小，通常是转化为在同一单调区间的两个同名函数值的大小比较问题。

5、了解周期函数及最小正周期的意义，会计算y=Asin（ωx+φ）＋Ｋ或可以化为此类型的三角函数的周期；

掌握由y=sinx到y=Asin（ωx+φ）的图象的变换方法，并能用“五点法”作出y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象。

6、熟练掌握y=si