学年高中数学人教A版必修五习题第1章+解三角形+12+第2课时+Word版含答案Word文档下载推荐.docx

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[解析]　设AB＝xm，则BC＝xm，BD＝xm，在△BCD中，由余弦定理，得

BD2＝BC2＋CD2－2BC·

CDcos120°

，

∴x2－20x－800＝0，∴x＝40（m）．

3．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°

的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是（　A　）

A．minB．h

C．21．5minD．2．15h

[解析]　当时间t<

2．5h时，如图．

∠CBD＝120°

，BD＝10－4t，BC＝6t．

在△BCD中，利用余弦定理，得

CD2＝（10－4t）2＋（6t）2－2×

（10－4t）×

6t×

cos120°

＝28t2－20t＋100．

当t＝＝（h），即min时，CD2最小，即CD最小为．

当t≥2．5h时，CF＝15×

，CF2＝>

CD2，

故距离最近时，t<

2．5h，即t＝min．

4．为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°

，塔基的俯角为45°

，那么塔AB的高度为（　A　）

A．20（1＋）mB．20（1＋）m

C．20（1＋）mD．30m

[解析]　如图，作CE⊥AB，则由条件知CE＝20，∠BCE＝30°

，∠ACE＝45°

∴BE＝CE·

tan30°

＝，AE＝CE＝20，

∴AB＝20（1＋），故选A．

5．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°

和30°

，而且两条船与炮台底部连线成30°

角，则两条船相距（　D　）

A．10mB．100m

C．20mD．30m

[解析]　设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠ABD＝45°

，∠ACD＝30°

，∠BDC＝30°

，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，BC2＝DB2＋DC2－2DB·

DC·

＝900，

∴BC＝30．

6．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°

，沿倾斜角为30°

的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°

，则山高BC为（　D　）

A．500mB．200m

C．1000mD．1000m

[解析]　∵∠SAB＝45°

－30°

＝15°

∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°

－（90°

－75°

）＝30°

在△ABS中，AB＝＝

＝1000，

∴BC＝AB·

sin45°

＝1000×

＝1000（m）．

二、填空题

7．一树干高15m，被台风吹断并歪倒，折断部分（长5m）与残存树干成120°

角，树干折断处距离地面的高度是____m．（不求近似值）

[解析]　如图，大树折断部分BC＝5m，殊存树干为AB，折断部分与残存树干所成的角为∠ABC＝120°

．

作AD⊥CB交CB延长线于点D，

作BE⊥AC于点E，BE的长为树干折断处距离地面的高度．

∵树干高15m，∴AB＋BC＝15（m），

∴AB＝15－BC＝10（m）．

∵∠ABC＝120°

，∴∠ABD＝60°

∴∠BAD＝90°

－∠ABD＝30°

∴BD＝AB＝5（m）．

∴AD＝＝＝5（m）．

∴CD＝CB＋BD＝10（m）．

∴AC＝＝＝5（m），

∵S△ABC＝AC·

BE＝BC·

AD，

∴BE＝＝＝（m）．

8．甲船在A处发现乙船在北偏东60°

的B处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是anmile/h，问甲船应沿着__北偏东30°

__方向前进，才能最快与乙船相遇？

[解析]　如图，设经过th两船在C点相遇，

则在△ABC中，

BC＝at，AC＝at，B＝180°

－60°

＝120°

由＝，

得sin∠CAB＝＝＝．

∵0°

<

∠CAB<

90°

∴∠CAB＝30°

，∴∠DAC＝60°

＝30°

即甲船应沿北偏东30°

的方向前进，才能最快与乙船相遇．

三、解答题

9．在海岸A处，发现北偏东45°

方向，距A处（－1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°

的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°

方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

[解析]　设缉私船用t小时在D处追上走私船．在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·

AC·

cos∠CAB＝（－1）2＋22－2×

（－1）×

2×

＝6，∴BC＝．

在△BCD中，由正弦定理，得

sin∠ABC＝sin∠BAC＝，

∴∠ABC＝45°

，∴BC与正北方向垂直．

∴∠CBD＝120°

．在△BCD中，由正弦定理，得

＝，

∴＝，∴sin∠BCD＝，

∴∠BCD＝30°

故缉私船沿北偏东60°

的方向能最快追上走私船．

B级　素养提升

1．渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120°

角的方向行驶，水流速度为4km/h，则渡轮实际航行的速度为（精确到0．1km/h）（　C　）

A．14．5km/hB．15．6km/h

C．13．5km/hD．11．3km/h

[解析]　由物理学知识，

画出示意图，如图．AB＝15，AD＝4，

∠BAD＝120°

．在▱ABCD中，D＝60°

在△ADC中，由余弦定理，得

AC＝

＝＝≈13．5（km/h）．

故选C．

2．某人在C点测得某塔在南偏西80°

，塔顶仰角为45°

，此人沿南偏东40°

方向前进10m到D，测得塔顶A的仰角为30°

，则塔高为（　C　）

A．15mB．5m

C．10mD．12m

[解析]　如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°

，则OC＝OA＝h．

在Rt△AOD中，∠ADO＝30°

，则OD＝h．

在△OCD中，∠OCD＝120°

，CD＝10，

由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·

CDcos∠OCD，

即（h）2＝h2＋102－2h×

10×

∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5（舍）．

3．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°

，45°

，60°

，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为（　D　）

A．15mB．20m

C．25mD．30m

[解析]　设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h，

∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得

cos∠PBA＝，①

cos∠PBC＝．②

∵∠PBA＋∠PBC＝180°

∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0．③

由①②③，解得h＝30或h＝－30（舍去），

即建筑物的高度为30m．

4．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°

，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°

，量得AB＝AC＝10m树根部为C（A、B、C在同一水平面上），则∠ACB＝__30°

__．

[解析]　如图，AC＝10，∠DAC＝45°

，∴DC＝10，

∵∠DBC＝30°

，∴BC＝10，

cos∠ACB＝＝，

∴∠ACB＝30°

5．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°

，C点的仰角∠CAB＝45°

以及∠MAC＝75°

；

从C点测得∠MCA＝60°

．已知山高BC＝100m，则山高MN＝__150__m．

[解析]　如图，

在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°

，∴AC＝100．

在△AMC中，∠CAM＝75°

，∠ACM＝60°

∴∠AMC＝45°

由正弦定理知＝，

∴AM＝100．

在Rt△AMN中，∠NAM＝60°

∴MN＝AM·

sin60°

＝100×

＝150（m）．

6．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°

方向的B处，且与岛屿A相距12nmile，渔船乙以10nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上．

（1）求渔船甲的速度；

（2）求sinα的值．

[解析]　

（1）依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°

，AB＝12，AC＝10×

2＝20，∠BCA＝α．

由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×

AC×

cos∠BAC

＝122＋202－2×

12×

20×

＝784．

解得BC＝28．

所以渔船甲的速度为＝14nmile/h．

（2）在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°

，BC＝28，∠BCA＝α，

由正弦定理，得＝．

即sinα＝＝＝．

C级　能力拔高

1．据气象台预报，在S岛正东距S岛300km的A处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°

的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响.

问：

S岛是否受其影响？

若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？

持续时间多久？

说明理由．

[解析]　如图，设台风中心经过th到达B点，由题意：

∠SAB＝90°

＝60°

在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°

由余弦定理，得

SB2＝SA2＋AB2－2SA·

AB·

cos∠SAB

＝3002＋（30t）2－2·

300·

30tcos60°

若S岛受到台风影响，则应满足条件

|SB|≤270即SB2≤2702，

化简整理得t2－10t＋19≤0，解之得5－≤t≤5＋，

所以从现在起，经过（5－）hS岛开始受到影响，（5＋）h后影响结束，持续时间：

（5＋）－（5－）＝2（h）．

答：

S岛从现在起经过（5－）h受到台风影响，且持续时间为2h．

2．如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°

的方向以每小时6km的速度步行了1min以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°

（1）求该人沿南偏西60°

的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；

（2）求塔的高AB．（结果保留根号，不求近似值）

[解析]　

（1）依据题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°

，∠DBC＝180°

－45°

＝135°

，CD＝6000×

＝100（m），

∠BDC＝45°

，由正弦定理，得＝，

∴BC＝＝＝

＝＝50（－1）（m），