中考数学专题复习存在性问题Word文件下载.docx

中考数学专题复习存在性问题Word文件下载.docx

《中考数学专题复习存在性问题Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学专题复习存在性问题Word文件下载.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（2）计算△ABC的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，写出点D的坐标；

若不存在，说明理由．

4.如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，

A（－2,0），B（－1,－3）．

（3分）

（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；

（2分）

（3）在第

（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）

（4）在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ的面积最大，若有，求出点Q的坐标，若没有，说明理由。

x

y

C

B

_

D

A

O

三、二次函数中直角三角形的存在性问题

5.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，

抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b,c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，

当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下：

①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?

若存在，求出所有点P的坐标；

四、二次函数中等腰三角形的存在性问题

6.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.

⑴求抛物线的解析式;

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？

若存在，求出符合条件的Q点坐标；

若不存在，请说明理由.

五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题

7．如图，二次函数y=-x2+ax+b的图像与x轴交于A（-，0）、B（2，0）两点，且与y轴交于点C；

（1）求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四

点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点

为顶点的四边形是直角梯形？

若存在，求出P点的坐标；

若不存在，说明理由。

六、二次函数中菱形的存在性问题

8．如图，抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．

直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．

（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；

（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；

（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？

若能，请直接写出点M的运动时间t的值；

若不能，请说明理由．

七、二次函数中与圆有关存在性问题

9.已知：

抛物线与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），

它的对称轴交x轴于点N（x3，0），若A，B两点距离不大于6，

（1）求m的取值范围；

（2）当AB=5时，求抛物线的解析式；

（3）试判断，是否存在m的值，使过点A和点N能作圆与y轴切于点（0，1），

或过点B和点N能作圆与y轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的m的值，若不存在试说明理由

定值问题：

1.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°

，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．

（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？

如果不变，求出这个定值；

如果变化，求出最大（或最小）值．

1、【答案】解：

（1）∵由平移的性质知，的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），

∴。

（2）由

（1）得.

当时，．解之，得　。

∴.

又当时，，

∴C点坐标为（0，－3）。

又抛物线顶点坐标D（－1，－4），

作抛物线的对称轴交轴于点E，DF⊥轴于点F。

易知

在Rt△AED中，AD2=22+42=20，在Rt△AOC中，AC2=32+32=18，

在Rt△CFD中，CD2=12+12=2，∴AC2＋CD2＝AD2。

∴△ACD是直角三角形。

（3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点。

由

（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC。

由△AOM∽△ABC，得。

即。

过M点作MG⊥AB于点G，则AG=MG=，

OG=AO－AG=3－。

又点M在第三象限，所以M（－，－）。

2、【答案】解：

（1）设抛物线的解析式为，

∵抛物线过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得。

∴抛物线的解析式为。

（2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，

则D在轴下方不可能，∴D在轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）。

②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。

∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，

由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）。

故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。

（3）存在，如图：

∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：

BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形。

假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，

设P（，），由题意知＞0，＞0，且，

①若△AMP∽△BOC，则。

即+2=3（2+2）得：

1=，2=﹣2（舍去）．

当=时，=，即P（，）。

②若△PMA∽△BOC，则，。

即：

2+2=3（+2）得：

1=3，2=﹣2（舍去）

当=3时，=15，即P（3，15）．

故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）。

3、【答案】解：

（1）把点B（－2，－2）的坐标代入得，，∴＝4。

∴双曲线的解析式为：

。

设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn＝4。

又∵tan∠AOX＝4，∴＝4，即m＝4n。

∴n2＝1，∴n＝±

1。

∵A点在第一象限，∴n＝1，m＝4。

∴A点的坐标为（1，4）。

把A、B点的坐标代入得，，解得，＝1，＝3。

∴抛物线的解析式为：

（2）∵AC∥轴，∴点C的纵坐标y＝4，

代入得方程，，解得1＝－4，2＝1（舍去）。

∴C点的坐标为（－4，4），且AC＝5。

又∵△ABC的高为6，∴△ABC的面积＝×

5×

6＝15。

（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。

理由如下：

过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D，此时△ABD的面积等于△ABC的面积（同底：

AB，等高：

CD和AB的距离）。

∵直线AB相应的一次函数是：

，且CD∥AB，

∴可设直线CD解析式为，

把C点的坐标（﹣4，4）代入可得，。

∴直线CD相应的一次函数是：

解方程组，解得，。

∴点D的坐标为（3，18）。

4.

（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程

∴解之得：

；

故为所求

（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点

设BD的解析式为，则有，，

故BD的解析式为；

令则，故

（3）、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由

（2）知，OM=OA=OD=2，

易知BN=MN=1，易求

图3

设，

依题意有：

，即：

解之得：

，，故符合条件的P点有三个：

5.解答：

解：

（1）由已知得：

A（﹣1，0），B（4，5），

∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），

∴，解得：

b=﹣2，c=﹣3；

（2）如图：

∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴直线AB的解析式为：

y=x+1，

∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），

∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，）；

（3）①如图：

顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）

S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=×

×

（4﹣）+×

（﹣1）=；

②如图：

ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）则有：

m2﹣2m﹣2=，

解得：

m1=，m2=，∴P1（，），P2（，），

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）则有：

n2﹣2n﹣2=﹣，

n1=，n2=（与点F重合，舍去），∴P3（，），

综上所述：

所有点P的坐标：

P1（，），P2（，），P3（，）

能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

6.解：

（1）∵当=0时，=3当=0时，=﹣1∴（﹣1，0），（0，3）

∵（3，0）·

·

1分

设抛物线的解析式为=a（+1）（﹣3）

∴3=a×

1×

（﹣3）∴a=﹣1

∴此抛物线的解析式为=﹣（+1）（﹣3）=-+2+3·

2分

（2）存在

∵抛物线的对称轴为：

x==1·

4分

∴如图对称轴与轴的交点即为Q

∵=，⊥∴=

∴（1，0）·

6分

当=时，设的坐标为（1，m）

∴2+m=1+（3﹣m）

∴m=1

∴（1，1）·

8分

当=时，设（1，n）∴2+n=1+3

∵n＞0∴n=

∴（1，）

∴符合条件的点坐标为（1，0），（1，1），（1，）·

10分

7、答案：

[解]

（1）根据题意，将A（-，0），B（2，0）代入y=-x2+ax+b中，得，

解这个方程，得a=，b=1，∴该拋物线的解析式为y=-x2+x+1，当x=0时，y=1，

∴点C的坐标为（0，1）。

∴在△AOC中，AC===。

在△BOC