最新高三上学期第三次月考数学理试题Word文档格式.docx
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二是要否定结论，所以“对任意，都有”的否定是“存在，使得”，故选B.
4.下列函数：
，，，在上是增函数且为偶函数的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】函数在上是减函数，不合题意；
是奇函数，不合题意；
即不是奇函数又不是偶函数，不合题意；
是偶函数，又在上是增函数，符合题意，所以分题意的函数有个，故选A.
5.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，（）
A.B.2C.D.
【答案】C
【解析】由，得，故.
故选C.
6.函数的图象大致是（）
A.B.
C.D.
【解析】为偶函数，图象关于轴对称，排除，当时，，排除D，故选C.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
7.若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）
【解析】，，设向量与向量的夹角为，，，故选A.
8.定义在上的奇函数满足：
，且当时，，则的值为（）
【解析】因为，则函数的周期是，又因为，所以，故选B.
9.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（）
【解析】由可得，，因为
在上为“凸函数”，所以，因为在上递增，所以，所以，实数的取值范围是,故选C.
10.已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数是减函数的区间为（）
【解析】试题分析：
因为,所以,即,则,故,,故其减区间为,即,故应选A.
考点：
三角变换及正弦函数的图象和性质.
11.已知在中，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（）
【解析】在中，，，，由正弦定理可得
因为三角形有两个解，所以,可得，的取值范围是，故选C.
12.设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为（）
【解析】设与在公共点处的切线相同，，由题意，即，由得或（舍去），即有，令，则，于是当，即时，；
当，即时，，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为，故的最大值为，故选D.
【方法点晴】本题主要考查函数的几何意义、利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立（可）或恒成立（即可）；
②数形结合（图象在上方即可）；
③讨论最值或恒成立；
④讨论参数.本题是利用方法①求得的最大值.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.等于__________.
【答案】
【解析】，故答案为.
14.已知函数的定义域为（其中），则“在和上分别单调递增”是“在上为增函数”的__________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要条件”）
【答案】必要不充分
【解析】不妨令，函数，的定义域为
，“在和上分别单调递增”，但是在上不是增函数，充分性不成立；
根据函数递增的定义可得若“在上为增函数”必有“在和上分别单调递增”，所以，“在和上分别单调递增”是“在上为增函数”的必要不充分条件，故答案为必要不充分.
15.已知函数，若，，则实数的最小值为__________.
【答案】3
【解析】函数，若，，，，时实数的最小值为，故答案为.
16.设函数是定义在上的可导函数，且满足条件，则不等式的解集为__________.
【解析】，故函数在上是增函数，，，即，解得，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；
解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；
②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列的前项和，其中.
（1）证明是等比数列，并求其通项公式；
（2）若，求.
（1）证明见解析，；
（2）.
（Ⅰ）首先利用公式，得到数列的递推公式，即可得到是等比数列及的通项公式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ），用表示前项和，结合的值，建立方程可求得的值．
试题解析：
（Ⅰ）由题意得，故，，.
由，得，即.由，得，所以.
因此是首项为，公比为的等比数列，于是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.
解得.
【考点】数列的通项与前项和的关系，等比数列的定义、通项公式及前项和.
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：
（1）定义法，即证明（常数）；
（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．
18.在中，已知.
（1）证明：
；
（1）证明见解析；
（2）4.
（1）由及正弦定理可得，通分后利用两角和的正弦函数公式整理即可证明；
（2）根据余弦定理，有，利用
（1）的条件，求解的正切函数值即可.
（1）由及正弦定理可得
化简得
在中，由，有
所以.
（2）由已知，，根据余弦定理，有
所以
由
（1）得，所以
故.
【名师点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于中档题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；
如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
19.自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择.
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；
②如果用表示两种方案休假周数之和，求随机变量的分布列及数学期望.
（1）答案见解析；
（2）①.；
②.答案见解析.
（1）直接由已知表中信息求出产假为14周和16周时某家庭有生育意愿的频率，进而得出所求的概率；
（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，所以基本事件的总数为（种），然后列举出其中不低于32周的选法的种数，最后由古典概型的计算公式即可得出所求的概率；
②首先由题意可得随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．然后运用古典概型的计算公式分别计算出等于29，30，31，32，33，34，35的概率，进而得出所求的的分布列并计算出其数学期望.
（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；
当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为.
（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得．
②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．
，，
因而的分布列为
29
30
31
32
33
34
35
0．1
0．2
1.古典概型；
2.离散型随机变量的分布列；
3.数学期望.
【方法点睛】本题主要考查了利用古典概型计算公式计算概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生基本的统计知识和综合应用知识的能力，属中档题.对于第一问利用古典概型计算公式计算概率，其解题的关键是正确地列举基本事件的个数和满足事件的基本事件的个数；
对于第二问求解离散型随机变量的分布列和数学期望，其解题的关键是正确地求出随机变量取值时的概率.
20.在四棱锥中，平面，是的中点，，，.
（1）求证：
（2）求二面角的余弦值.
（1）取的中点，连接，则，先根据线面垂直的性质证明；
进而可得，再由线面判定定理即可证明平面，从而可得；
（2）建立空间坐标系，分别求出平面与平面的的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，即可求二面角的余弦值.
（1）取的中点，连接，则.
因为，所以.
因为平面，平面，所以又
所以平面
因为平面，所以；
又，所以；
又因为,，所以平面
因为平面，所以.
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，
，.
设平面的法向量为，则所以
令，所以.
由
（1）知平面，平面，所以.
同理，所以平面
所以平面的一个法向量.
所以，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：
（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；
（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；
（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；
（4）将空间位置关系转化为向量关系；
（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
21.已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，设函数，函数.
①若恒成立，求实数的取值范围；
②证明：
.
（2）①；
②证明见解析.
（1）第一步先求，第二步讨论或时，的解集；
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