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参考文献……………………………………………………………………（11）

辛慧凡二次型在微积分中的应用

二次型在微积分中的应用

辛慧凡

（数学与应用数学系指导教师：

陈梅香）

摘要：

二次型是线性代数的基本内容，其用途十分广泛，而积分上下限皆为无穷的重广义积分，在工程技术等领域中有着重要应用，但用变量替换的方法求解这类重积分往往会比较复杂，本文将以二次型与正交变换为工具，给出一类特殊重积分的基本计算公式；

其次数学中求函数极值问题的方法有很多种,本文着重研究用二次型矩阵的正定性来求一种特殊类型的多元函数的极值，然后讨论一般元二次式的极值，给出一种极值的判定和求极值的一般方法．

关键词：

二次型正定矩阵极值重积分应用

Abstract：

Quadraticformisthebasiccontentoflinearalgebrawithawideapplication.Infact,n-tupleimproperintegralplaysanimportantroleinengineeringtechnology,butitisquitecomplicatedtosolvethiskindofproblembyvariablesubstitution.Thisarticleusesquadraticformandorthogonaltransformationastoolstogiveacalculationformulaofthistypeofintegral.Second,therearemanycalculationsofthefunctionextremum.Thepapermainlystudiesamethodtocalculatetheextremevalueofaclassofmultivariatefunctionbythepositivedefiniteofamatrix,thentalksaboutthegeneralconditionandgivesgeneralmethodforthedecisionandcalculationofextremevalue.

Keywords:

quadraticformpositivedefinitematrixextremevaluen-tupleintegralapplication

0引言

二次型理论已广泛应用于力学、物理学以及数学的其它分支，如二次型在多元函数求极值上的应用、在重广义积分计算上的应用．因此，二次型理论的思想与方法不仅是高等代数研究的一个重要内容，也是进一步学习其它相关学科的基础．

在解数学题的过程中，大家总是尝试着寻找更简便的方法来解答，数学分析中主要应用变量替换求解重积分，这类方法比较复杂，而通过二次型的理论求解一类特殊的重积分，会更简便．另一方面，对于函数的极值问题，在所学的数学分析中，已给出了判断二元函数在点取极值的充分条件（见文献[1]），但是这种方法对三元及元的函数并不适用，但在实际应用问题中更经常遇到三元以上函数的极值问题，现通过讨论二次型的正定性，来探讨多元函数的极值问题．

1二次型在广义重积分计算中的应用

1.1预备知识1

1.1.1正定矩阵的判定[2]：

设是一个阶实对称矩阵，以下条件都是为正定矩阵的充要条件：

1）的特征值都是大于零；

2）的顺序主子式都大于零．

1.1.2有关半正定矩阵的若干等价条件[2]：

1）是半正定矩阵；

2）的所有主子式；

3）的特征值．

1.1.3负定矩阵的判定[3]：

对，有，则为负定矩阵．

定义1[3]欧氏空间的线性变换称为正交变换，若它保持向量的内积不变，即对于任意，都有．

定理1[3]设是欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：

1）是正交变换；

2）保持向量的长度不变，即对于，；

3）若是标准正交基，那么也是标准正交基；

4）在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．

定理2[4]　正交变换不改变向量的夹角，即方向不变．

定理3[4]　正交变换的雅可比（）矩阵行列式值之绝对值等于．

即若为正交变换，则．

定理4　设正交变换：

若在上连续，则有

．

证明因为是正交变换，所以由定理3知．

又由三重积分的变量替换（注释①），故将其推广至重积分有

．

得证．

定理5[4]　设

其中，，表示矩阵的转置，，矩阵的行列式记为．

若，则经过平移，即（其中，）

将成为

推论设

若，则经过平移后成为

，

其中，

，

定理6[3]任意一个实二次型

都可以经过正交的线性替换

变成平方和

其中平方项的系数就是矩阵

的特征多项式的全部的根．

定理7若，则

通过两步正交变换（平移与旋转）一定可以化成

其中为矩阵的特征值，

且，．

证明由推论知，经平移后，

又由定理6知，其中

故，

1.2计算如下形式的广义积分

其中是二次多项式．

1.2.1情形一：

设是一个元二次齐次式，

则只需考虑如下形式的重广义积分：

其中是一个实二次型，，是该实二次型的系数矩阵．

由定理6知，存在正交矩阵，使得

其中，，，

则

（1）

1）当是正定矩阵时，都大于零，上式右端的各积分都存在，而由注释②知，故上式右端积分各项的值分别等于．

又，于是

（1）式右端变为．

2）当是非正定矩阵时，中会出现零或负数，

从而

（1）式右端中相应于零或负数特征值的积分变为发散，

（1）式右端变为．

故有以下结论：

，

1.2.2情形二：

设

1）设为正定型，则矩阵

为正定矩阵，且，

因是正定矩阵，所以的特征值，

从而，

故由定理7知存在正交变换，使

于是由定理得

2）当为非正定型时，类似于情形一的2）知，积分变为发散．

则有结论：

1.3应用

例题1[5]计算．

解：

因，且，

所以由正定矩阵判定的充要条件知，是正定矩阵，

又，故根据

（2）式，该广义积分收敛，且．

例题2[5]计算

因，

且对，

所以由负定矩阵的定义知，是负定矩阵

故根据

（2）式，该广义积分发散的，即．

例题3[6]计算

因，

且,

又，

故根据（3）式，该广义积分收敛，且．

例题4[7]计算积分，其中是正定二次型，是区域．（国外奥赛）

（用正交变换）据定理6知，，这里．

于是原积分

由正定，所以．再做变换，则

，，

所以．

2二次型在求多元函数极值上的应用

2.1利用海森（）矩阵的正定性判断多元函数的极值

2.1.1预备知识2：

定义设元数值函数在点可导，则称向量为函数在点的梯度，记作，即．

定义设元数值函数在点有连续的二阶偏导数，称矩阵

为函数在点的海森（）矩阵．是由个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵．

定理设函数在的某个领域内具有连续的二阶偏导数，且在该点的梯度，则

1）当为正定矩阵时，为的极小值．

2）当为负定矩阵时，为的极大值．

3）当为不定矩阵时，不是的极值．

2.1.2多元函数求极值的步骤

多元函数在定义域内求极值，可按下述步骤进行：

1）令，求出的所有驻点；

2）求出在点的海森（）矩阵，判定的正定性：

若正定，则在点取得极小值；

若负定，则在点取得极大值．

2.1.3应用

例题5[6]求三元函数的极值．

令，，，

得驻点，

的各二阶偏导数为：

，，，，，，

可得海森（）矩阵．

在处，有矩阵，

而的各阶顺序主子式

，，，

则不定，故不是极值点．

在点处，有矩阵，

则由正定矩阵判定的充要条件知，正定，故是极小值点．

从而极小值为．

例题6[10]某企业生产两种商品，总收益，总成本，判断该企业是否有最大收益．

利润

对、的一阶偏导数满足的条件为

得驻点,

又，，，

则由二阶偏导数组成的矩阵为

因为对有，

所以为负定矩阵，则有极大值，即企业有最大利润，在利润函数的驻点取得．

2.2利用矩阵A的正定性及秩（A）的情况判断二次多项式的极值

2.2.1定理9[10]对实n元二次多项式

其中所对应的实对称矩阵为，秩为r，

作非退化的线性替换X=PY，使，把二次型化为只含有平方项的形式，在此变换下：

1）A为半正定

①若r=n，则f存在极小值；

②若r<

n，一次项所含新变量均在平方项中出现，则f有极小值；

③若r<

n，一次项所含新变量至少有一个不在平方项中出现，则f不存在极值．

2）A为半负定

①若r=n，则f有极大值；

n，一次项所含新变量均在平方项中出现，则f有极大值；

证明过程见文献[11]．

2.2.2应用

例题7[11]判断

是否有极值，若有，请求之．

设式中的二次型部分所对应的矩阵为，则，

由定理6知，存在正交阵（其中），使得，

主对角线上有一个零元素，可知，

而主对角线上其余的非零元素全是正数，故为半正定阵．

是否存在极值还应看替换情形才确定，作线性替换

在此替换下式中的二次型部分变为，

一次项部分

由此知一次项所含新字母均在平方项中出现，则由定理9知有极小值存在，

对变换后的多项式进行配方得：

所以当，，时，有极小值．

将代入式得：

当，，

，时，有极小值．

结束语：

二次型化为只含有平