高中数学竞赛第十讲Word文件下载.doc
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（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
以上组合恒等式（是指组合数满足的恒等式）是证明一些较复杂的组合恒等式的基
本工具.（7）和（8）的证明将在后面给出.
5．证明组合恒等式的方法常用的有
（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明.
（2）利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中.
（3）利用数学归纳法.
（4）构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.
赛题精讲
例1：
求的展开式中的常数项.
【解】由二项式定理得
①
其中第项为②
在的展开式中，设第k+1项为常数项，记为
则③
由③得r－2k=0，即r=2k，r为偶数，再根据①、②知所求常数项为
【评述】求某一项时用二项展开式的通项.
例2：
求的展开式里x5的系数.
【解】因为
所以的展开式里x5的系数为
【评述】本题也可将化为用例1的作法可求得.
例3：
已知数列满足
求证：
对于任何自然数n，
是x的一次多项式或零次多项式.（1986年全国高中数学联赛试题）
【思路分析】由是等差数列，则从而可将表示成的表达式，再化简即可.
【解】因为所以数列为等差数列，设其公差为d
有从而
由二项定理，知
又因为
从而
所以
当的一次多项式，当零次多项式.
例4：
已知a，b均为正整数，且求证：
对一切，An均为整数.
【思路分析】由联想到复数棣莫佛定理，复数需要，然后分析An与复数的关系.
【证明】因为
显然的虚部，由于
所以从而的虚部.
因为a、b为整数，根据二项式定理，的虚部当然也为整数，所以对一切，An为整数.
【评述】把An为与复数联系在一起是本题的关键.
例5：
已知为整数，P为素数，求证：
【证明】
由于为整数，可从分子中约去r！
，又因为P为素数，且，所以分子中的P不会红去，因此有所以
【评述】将展开就与有联系，只要证明其余的数能被P整除是本题的关键.
例6：
若，求证：
【思路分析】由已知猜想，因此需要求出，即只需要证明为正整数即可.
【证明】首先证明，对固定为r，满足条件的是惟一的.否则，设
则矛盾.所以满足条件的m和是惟一的.下面求.
因为
又因为
故
【评述】猜想进行运算是关键.
例7：
数列中，，求的末位数字是多少？
【思路分析】利用n取1，2，3，…猜想的末位数字.
【解】当n=1时，a1=3，
，因此的末位数字都是7，猜想，现假设n=k时，
当n=k+1时，
从而
于是故的末位数字是7.
【评述】猜想是关键.
例8：
求N=1988－1的所有形如为自然数）的因子d之和.
【思路分析】寻求N中含2和3的最高幂次数，为此将19变为20－1和18+1，然后用二项式定理展开.
【解】因为N=1988－1=（20－1）88－1=（1－4×
5）88－1
=－
其中M是整数.
上式表明，N的素因数中2的最高次幂是5.又因为N=（1+2×
9）88－1
=32×
2×
88+34·
P=32×
（2×
88+9P）其中P为整数.
上式表明，N的素因数中3的最高次幂是2.
综上所述，可知，其中Q是正整数，不含因数2和3.
因此，N中所有形如的因数的和为（2+22+23+24+25）（3+32）=744.
例9：
设，求数x的个位数字.
【思路分析】直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数.
【解】令
，由二项式定理知，对任意正整数n.
为整数，且个位数字为零.
因此，x+y是个位数字为零的整数.再对y估值，
因为，且，
所以故x的个位数字为9.
【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.
例10：
已知试问：
在数列中是否有无穷多个能被15整除的项？
证明你的结论.
【思路分析】先求出，再将表示成与15有关的表达式，便知是否有无穷多项能被15整除.
【证明】在数列中有无穷多个能被15整除的项，下面证明之.
数列的特征方程为它的两个根为，
所以（n=0，1，2，…）
由则
取，由二项式定理得
由上式知当15|k，即30|n时，15|an，因此数列中有无穷多个能被15整除的项.
【评述】在二项式定理中，经常在一起结合使用.
针对性训练题
1．已知实数均不为0，多项的三根为，求
的值.
2．设，其中为常数，如果求的值.
3．定义在实数集上的函数满足：
4．证明：
当n=6m时，
5．设展开式为，求证：
6．求最小的正整数n，使得的展开式经同类项合并后至少有1996项.
（1996年美国数学邀请赛试题）
7．设，试求：
（1）的展开式中所有项的系数和.
（2）的展开式中奇次项的系数和.
8．证明：
对任意的正整数n，不等式成立.
（第21届全苏数学竞赛题）
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