数学二试题分析详解和评注Word下载.docx
《数学二试题分析详解和评注Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学二试题分析详解和评注Word下载.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（2）函数在上的第一类间断点是x=
（A）0.（B）1.（C）.（D）. 【】
【分析】本题f（x）为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。
【详解】f（x）在上的无定义点，即间断点为x=0,1,
又，
，
可见x=0为第一类间断点，因此应选（A）.
【评注】本题尽管可计算出，从而均为第二类间断点，但根据四个选项的答案，已经确定x=0为第一类间断点后，后面三个极限问题事实上没必要再计算。
完全类似例题见《经典讲义》P.30例1.69,P.32例1.72及辅导班讲义例1.11.
（3）如图，连续函数y=f（x）在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设则下列结论正确的是
（A）.（B）.
（C）.（D）. 【】
【答案】应选（C）.
【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f（x）在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【详解】根据定积分的几何意义，知F
（2）为半径是1的半圆面积：
F（3）是两个半圆面积之差：
=，
因此应选（C）.
【评注1】本题F（x）由积分所定义，应注意其下限为0，因此
，也为半径是1的半圆面积。
可知（A）（B）（D）均不成立.
【评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的巧妙之处。
完全类似例题见《经典讲义》P.152例7.15,例7.16，例7.18及辅导班讲义例7.12
（4）设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是：
（A）若存在，则f（0）=0.（B）若存在，则f（0）=0.
（C）若存在，则存在.（D）若存在，则存在
【】
【答案】应选（D）.
【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【详解】
（A）,（B）两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f（0）=0.
若存在，则，可见（C）也正确，故应选（D）.事实上，可举反例：
在x=0处连续，且
=存在，但在x=0处不可导.
重要知识点提示见《经典讲义》P.39，完全类似例题见P.41例2.1,P.42例2.6及P.60习题2及辅导班讲义例2.5.
（5）曲线，渐近线的条数为
（A）0.（B）1.（C）2.（D）3. 【】
【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；
再考虑水平或斜渐近线。
【详解】因为，所以为垂直渐近线；
又，所以y=0为水平渐近线；
进一步，=，
=，
于是有斜渐近线：
y=x.故应选（D）.
【评注】一般来说，有水平渐近线（即）就不再考虑斜渐近线，但当不存在时，就要分别讨论和两种情况，即左右两侧的渐近线。
本题在x<
0的一侧有水平渐近线，而在x>
0的一侧有斜渐近线。
关键应注意指数函数当时极限不存在，必须分和进行讨论。
重点提示见《经典讲义》P.145，类似例题见P.150例7.13,例7.14及辅导班讲义例7.8.
（6）设函数f（x）在上具有二阶导数，且令,
则下列结论正确的是：
（A）若，则必收敛.（B）若，则必发散.
（C）若，则必收敛.（D）若，则必发散. 【】
【分析】利用反例通过排除法进行讨论。
【详解】设f（x）=,则f（x）在上具有二阶导数，且，但发散，排除（C）;
设f（x）=,则f（x）在上具有二阶导数，且，但收敛，排除（B）;
又若设，则f（x）在上具有二阶导数，且，但发散，排除（A）.故应选（D）.
【评注】也可直接证明（D）为正确选项.若，则存在，使得.在区间上应用拉格朗日中值定理,存在使得
又因为在上因此在上单调增加，于是对有
.
在区间上应用拉格朗日中值定理,存在使得,
即
故应选（D）.
重要提示与例题见《经典讲义》P.19例1.40,例1.41、《真题
（二）P.80题2》及辅导班讲义例1.12
（7）二元函数f（x,y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是
（A）.
（B），且.
（C）.
（D），且. 【】
【详解】选项（A）相当于已知f（x,y）在点（0,0）处连续，选项（B）相当于已知两个一阶偏导数存在，因此（A）,（B）均不能保证f（x,y）在点（0，0）处可微。
选项（D）相当于已知两个一阶偏导数存在，但不能推导出两个一阶偏导函数在点（0,0）处连续，因此也不能保证f（x,y）在点（0，0）处可微。
若，则
，即同理有
从而
==0
根据可微的定义，知函数f（x,y）在（0，0）处可微，故应选（C）.
几乎原题见《经典讲义》P.182例9.2，本题难度较大，概念性强
（8）设函数f（x,y）连续，则二次积分等于
（A）.（B）.
（C）.（D）.【】
【分析】先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。
【详解】积分区域D:
也可表示为
D:
故=，应选（B）.
【评注】确定y的取值范围时应注意：
当时，y=sinx=,于是，从而
完全类似例题见《经典讲义》P.208例10.13,例10.14,例10.15及辅导班讲义例10.9
（9）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是
（A）.（B）.
（C）.（D）.【】
【答案】应选（A）.
【详解1】直接可看出（A）中3个向量组有关系
即（A）中3个向量组有线性相关,所以选（A）.
【详解2】用定义进行判定:
令
得.
因线性无关，所以
故上述齐次线性方程组有非零解,即线性相关.类似可得（B）,（C）,（D）中的向量组都是线性无关的.
这是一个基本题，完全类似的问题见《经典讲义》P.314例3.5和辅导班上对应章节的例题
（10）设矩阵,,则A与B
（A）合同,且相似.（B）合同,但不相似.
（C）不合同,但相似.（D）既不合同,又不相似.【】
【答案】应选（B）.
【详解】由得A的特征值为0,3,3,而B的特征值为0,1,1，从而A与B不相似.
又r（A）=r（B）=2,且A、B有相同的正惯性指数,因此A与B合同.故选（A）.
【评注】1）若A与B相似,则|A|=|B|；
r（A）=r（B）；
tr（A）=tr（B）;
A与B有相同的特征值.
2）若A、B为实对称矩阵,则A与B合同⇔r（A）=r（B）,且A、B有相同的正惯性指数.
这是数学二首次要求考查的内容，完全类似的问题见《历年真题
（一）》P307的小结
二、填空题（11－16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）
（11）=.
【答案】应填
【详解】=
完全类似例题见《经典讲义》P.14例1.24,例1.25及辅导班讲义例1.7.
（12）曲线上对应于的点处的法线斜率为.
【详解】因为，于是，故法线斜率为
完全类似例题见《经典讲义》P.46例2.15,例2.16及辅导班讲义例2.14.
（13）设函数则=.
【详解】
一般地，，
从而=
完全类似例题见《经典讲义》P.56例2.49,例2.50及辅导班讲义例2.16.
（14）二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为.
【答案】其中为任意常数.
【详解】特征方程为，解得可见对应齐次线性微分方程的通解为
设非齐次线性微分方程的特解为，代入非齐次方程可得k=−2.故通解为
完全类似例题见《经典讲义》P.172例题8.7及辅导班讲义例8.9.
（15）设f（u,v）是二元可微函数，则.
【答案】
【详解】，，于是有
完全类似例题见辅导班讲义例9.6及《经典讲义》P199习题三1-3.
（16）设矩阵,则的秩为___________.
【答案】应填1.
【详解】依矩阵乘法直接计算得,故r（）=1.
完全类似的问题见《经典讲义》P300题型七和辅导班上对应章节的例题
三、解答题：
17－24小题，共86分.
（17）（本题满分10分）
设f（x）是区间上的单调、可导函数，且满足
，
其中是f的反函数，求f（x）.
【分析】等式两端先对x求导，再积分即可。
【详解】在等式两端先对x求导，得
即，也即.
于是
=
由题设知,f（0）=0,于是c=0，故
几乎原题见《经典讲义》P.50例2.28.
（18）（本题满分11分）
设D是位于曲线下方、x轴上方的无界区域。
（）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V（a）;
（）当a为何值时，V（a）最小?
并求此最小值.
【分析】V（a）的可通过广义积分进行计算，再按通常方法求V（a）的最值即可。
【详解】（）=
（）,
得，即a=e.
由于a=e是惟一的驻点，是极小值点，也是最小值点，最小值为
【评注】事实上,当1<
a<
e时,,V（a）单调减少,当a>
e时,,V（a）单调增加,所以a=e是V（a）的极小值点，也是最小值点
完全类似例题见辅导班讲义例7.16及《经典讲义》P162习题17.
（19）（本题满分10分）
求微分方程满足初始条件的特解。
【分析】本题为可降阶的二阶微分方程，作变量代换即可。
【详解】令，则原方程化为
即，
其解为
利用u=,有C=0,于是,由知应取.
再由，积分得，代入初始条件y
（1）=1，得，
故满足初始条件的特解为.
完全类似例题见辅导班讲义例8.9及《经典讲义》P.171例8.6.
（20）（本题满分11分）
已知函数f（u）具有二阶导数，且，函数y=y（x）由方程所确定，设，求
【详解】，
在中,令x=0得y=1.而由两边对x求
升级会员 