辽宁省六校协作体学年高二联考数学理试题Word版含答案Word文档下载推荐.docx
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A.3B.2C.1D.0
10.从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议,规定男女同学至少有1人参加,下面是不同的选法种数的三个算式:
①;
②−−;
③++.则其中正确算式的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
11.定义在R上的可导函数f（x）,f′（x）是其导函数.则下列结论中错误的是（）
A.若f（x）是偶函数,则f′（x）必是奇函数B.若f（x）是奇函数,则f′（x）必是偶函数
C.若f′（x）是偶函数,则f（x）必是奇函数D.若f′（x）是奇函数,则f（x）必是偶函数
12.若对∀a∈[,1],∃b,c∈[−1,1],且b≠c,使λ+alna=2b2eb=2c2ec（e是自然对数的底数）,则实数λ的取值范围是（）
A.（,]B.（,2e]C.（,2e]D.（,]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题,每个试题考生都必须作答.第（22）题～第（23）题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.随机取两个正实数x,y,满足x+y<
2,则y>
x2的概率是________.
14.已知双曲线C:
−=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点P在双曲线C的左支上（如右图所示）,则|AN|−|BN|=________.
15.如图,正四面体ABCD的棱CD放置在水平面α内,且AB∥α,其俯视图的外轮廓是边长为2的正方形,则与这个正四面体的6条棱都相切的球的表面积为________.
16.函数f（x）=sinx（sinx+cosx）−在区（,aπ）（0<
a<
1）上有且仅有一个零点,则实数a的取值范围是______
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）设Sn是数列{an}（n∈N*）的前n项和,且Sn=an+1,a1=2.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）设bn=（n∈N*）,Tn表示数列{bn}（n∈N*）的前n项和,求证:
Tn<
1（n∈N*）.
18.（本小题满分12分）
为了调查学生数学学习的质量情况,某校从高二年级学生（其中男生与女生的人数之比为9:
11）中,采用分层抽样的方法抽取n名学生依期中考试的数学成绩进行统计.根据数学的分数取得了这n名同学的数据,按照以下区间分为八组:
①[30,45）,②[45,60）,③[60,75）,④[75,90）,
⑤[90,105）,⑥[105,120）,⑦[120,135）,⑧[135,150）
得到频率分布直方图如右.已知抽取的学生中数学成绩少于60分的人数为5人.
（1）求n的值及频率分布直方图中第④组矩形条的高度;
（2）如果把“学生数学成绩不低于90分”作为是否达标的标准,对抽取的n名学生,完成下列2⨯2列联表:
.
据此资料,你是否认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关?
（3）若从该校的高二年级学生中随机抽取3人,记这3人中成绩不低于120分的学生人数为X,求X的分布列、数学期望和方差.
附1:
“2⨯2列联表”的卡方统计量公式:
K2=
附2:
卡方（K2）统计量的概率分布表:
19.（本小题满分12分）
如图七面体ABCDEFG中,面ABCD,ADEF,
ABGF都是正方形.M,N分别是棱FG,DE的中点.
（1）求证:
直线MN∥平面CEG;
（2）在线段GC（包括端点）上是否存在点P,使直线MP与平面CEG所成的角恰好是30︒?
若存在,求GP:
GC的数值;
若不存在,请说明理由.
20.（本小题满分12分）
长度为2的线段MN的两个端点分别在直线l1:
y=x和l2:
y=−x上滑动,P是MN的中点.动点P的轨迹是曲线E.
（1）求曲线E的方程;
（2）已知曲线E与x轴的负半轴交于点A,过A作两条直线L1,L2,且L1,L2与曲线E的异于A的交点分别为B,C.设L1,L2的斜率分别是k1,k2,若k1k2=1,求证:
由B、C确定的直线l经过定点.
21.（本小题满分12分）
已知函数f（x）=（x2−ax）lnx−x2+ax（常数a>
0）.
（1）讨论f（x）的单调性;
（2）设f′（x）是f（x）的导函数,求证:
f′（x）<
4e−alnx.
请考生在22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目下方的方框涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4−4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,直线l过点P（−1,2）且与直线l′:
x+y−1=0垂直.以O为极点,Ox为极轴建立极坐标系（长度单位与直角坐标的长度单位一致）,在极坐标系下,曲线C:
ρ=4sinθ.
（1）求直线l的参数方程,曲线C的直角坐标方程;
（2）设直线l与曲线C交于A,B两点,求+的值.
23.（本小题满分10分）选修4−5:
不等式选讲
设函数f（x）=2|x+1|+|2x−3|.
（1）解不等式f（x）≤7;
（2）若f（x）≥a+|4x−6|对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
数学理科（参考答案）
一、二题答案:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A
B
D
C
−12
4p
（,）∪（,]
三、解答题答案及评分标准:
17.
（1）Sn=an+1……①
Sn+1=an+2……②
②−①Þ
an+1=an+2−an+1Þ
an+2=2an+1Þ
an+1=2an（n≥2）
取①中n=1Þ
a2=2
故当n≥2时,an=a23n−2=2n−1
从而an=……6分
（2）Sn=an+1=2nÞ
bn==−
故Tn=b1+b2+…+bn=−+−+…+−=1−<
1……12分
18.
（1）“成绩少于60分”的频率=（+）·
15Þ
n=100……2分
④的高度==300=1/125……4分
（2）按照“男生”和“女生”分层抽样
在容量为100的样本中,“男生”人数=´
100=45,“女生”人数=´
100=55
“达标”即“成绩不低于90分”的频数=（+++）´
15´
100=75
据此可填表如下:
……6分
据表可得卡方统计量K2=´
´
==3.030<
3.841
故有不足95%的把握认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关
可以认为它们之间没有关联……8分
（3）“成绩不低于120分”的频率=（+）´
15=
因高二年级的学生数远超过样本容量,故从该年级抽取任意1人的概率都可认为是
从而X～B（3,）,则P（X=0）=（）0（）3=,P（X=1）=（）1（）2=
P（X=2）=（）2（）1=,P（X=3）=（）3（）0=
故X的分布列为:
……10分
数学期望E（X）=3´
=……11分方差D（X）=3´
（1−）=……12分
19.
（1）取CE中点Q
Þ
Þ
Ì
Ë
GQ面CEGMN面CEGÞ
MN∥面CEG……6分
（2）易知AB,AD,AF两两垂直,如图建系A−xyz
设B（a,0,0）,则C（a,a,0）,E（0,a,a）,G（a,0,a）,M（,0,a）
则=（−a,0,a）,=（0,−a,a）
设面CEG的法向量为=（x,y,z）
据·
=·
=0Þ
取=（1,1,1）
设=l
则=+=+l=（,0,0）+l（0,a,−a）=（,la,−la）
据题意,sin30°
=×
×
=l=Þ
l=
故存在点P,且GP:
GC=…………12分
20.
（1）设M（m,m）,N（n,−n）,P（x,y）
据|MN|=2Þ
（m−n）2+2（m+n）2=8……①
因P是MN中点,故Þ
……②
把②带入①得曲线E的方程为x2+=1……6分
（2）易知A（−1,0）,设B（x1,y1）,C（x2,y2）,且设直线l的方程为y=kx+p
联立Þ
（k2+4）x2+2pkx+p2−4=0Þ
……③
又k1k2=×
=1Þ
（k2−1）x1x2+（pk−1）（x1+x2）+p2−1=0……④
把③带入④Þ
3p2+2kp−5k2=0Þ
p=−k或p=k,因直线l不能过A点,故p=k舍,取p=−k
此时直线l的方程为y=k（x−）,故直线l经过定点Q（,0）……12分
另证:
设B（x1,y1）,C（x2,y2）,且设直线L1的方程为y=k（x+1）,L2的方程为y=（x+1）
（k2+4）x2+2k2x+k2−4=0Þ
x1（−1）=Þ
B（,）
同理得C（,）
从而知直线BC即直线l的斜率kBC=,进而得直线l的方程为y=x+
故直线l经过定点Q（,0）……12分
21.
（1）f′（x）=（x−a）lnx（x>
0,a>
0）
画出y=x−a（a>
0）及y=lnx（x>
0）的图象,它们的零点分别为a和1
①当0<
1时,f（x）在（0,a）↑,（a,1）↓,（1,+∞）↑……2分
②当a=1时,f（x）在（0,+∞）↑……4分
③当a>
1时,f（x）在（0,1）↑,（1,a）↓,（a,+∞）↑……6分
（2）因f′（x）=（x
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