几种定积分的数值计算方法Word格式文档下载.docx

几种定积分的数值计算方法Word格式文档下载.docx

《几种定积分的数值计算方法Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几种定积分的数值计算方法Word格式文档下载.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

2.几何意义上的数值算法

在几何上表示以为底,以曲线为曲边的曲边梯形的面积,因此,计算的近似值也就是的近似值,如图1所示.沿着积分区间,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设上等分的小区间,其中表示小区间的长度.

2.1矩形法

矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到的近似值.若取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则

图1分割曲边矩形近似积分

2.2梯形法

梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积,见图2,从而得到的近似值,即.

图2分割曲边梯形近似积分

2.3抛物线法

抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边,曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积,如图3所示.

图3抛物线积分

对应的曲线上的点可以唯一地确定一条抛物线,这条抛物线将作将代替从至的曲线段,此时积分可以转化为对抛物线积分,而抛物线的积分可以利用牛顿—莱布尼玆公式.第1、2个小区边梯形的面积:

上面利用了条件是抛物线上的点以及等式.同理可证：

……

所以,

3.概率意义上的数值算法

概率算法是定积分问题数值求解的一类常用方法,其设计思想简单,易于实现.尽管算法要耗费较多计算时间,但是往往能得到问题的近似解,并且近似程度能随计算时间的增加而不断提高.概率算法可用于计算定积分的近似值.

3.1平均值法

考虑定积分的近似计算,其中在内可积,用平均值法计算该积分,首先随机产生个独立的随机变量,且服从在上均匀分布,即;

其次,计算的近似值,.

由中心极限定理知,若相互独立、同分布,且数学期望及标准差存在,则当充分大时,随机变量渐近服从正态分布,即对任意的,

这表明,用平均值法计算定积分的收敛速度较慢,在概率意义下的误差阶仅为.

3.2“类矩形”Monte-Carlo方法

由于平均值法计算定积分的收敛速度较慢,且在概率意义下的误差阶仅为,就有对平均值法的改进，“类矩形”Monte-Carlo方法,改进过程为：

先将积分区间等分,随机产生个相互独立且服从上均匀分布的随机变量序列；

然后由这个随机点类似于矩形公式构造计算公式,即作变换

将映射到子区间

最后,计算的近似值,．

下面用两个命题证明“类矩阵”方法的可行性.

命题1设

证明:

由Lagrange中值定理得

上式两边在积分,得

由得连续性,得

命题2设

与如上,则与的误差满足.

由命题1得,

于是

即

.

3.3“类梯形”Monte-Carlo方法

再给出平均值法的另一种改进.首先将等分,再在每个子区间上随机产生个相互独立且服从上均匀分布的随机变量序列,并两两分组,得;

做变换

将,分别映射到子区间

然后在每个等分子区间上利用两点类似于梯形公式构造“类梯形”公式

近类似

.

最后计算的近似值,．

下面证明“类梯形”方法可行性的两个命题：

命题3设记则有

．

证明：

过两点的直线方程为

所以令

（1）

将看成上的一个定点,构造辅助函数

由于,由Rolle中值定理,在内至少有两个零点,对再用Rolle中值定理,知在内至少有一个零点,即存在,使,所以．将它代入

（1）式,并两段同时从到积分,得

记

不妨设,则将分别对求偏导数,得

解得唯一驻点：

又

故当时,

结论成立．

命题4

与如上,则与的误差满足:

.

由命题3,得

4.例题

对于积分,该积分精确值为3.1416.下面分别给出本文所涉及计算方法对它的计算结果:

4.1用三种基于几何意义的算法:

矩形算法,梯形法,抛物线法作比较,结果如表1:

表1几何意义算法的比较

分割数

算法

近似值

误差

矩形

3.14241294

梯形

3.1399398

抛物线

3.1415569

3.1415528

3.1416496

3.14160128

4.2用平均值法,及其改进“类矩形”Monte-Carlo方法,“类梯形”Monte-Carlo方法计算结果如表2:

表2概率意义算法的比较

节点数

平均值法

3.13849728

类矩形法

3.1416903

类梯形法

3.14160029

5．结语

本文介绍的几种求积公式各有特点：

梯形求积公式和抛物线法求积公式是低精度公式,但对于光滑性较差的被积函数有时比用高精度方法能得到更好的效果,尤其是梯形求积公式．当被积函数为周期函数时,效果更为突出.由表1分析,一般情形下,三种基于几何的算法中矩形算法的误差最大,梯形法次之,抛物线法最高.抛物线法的积分精度远远高于另外两种方法,特别是在积分区间分割份数较小的情况下,仍然保持较高的近似程度.

“类矩形”Monte-Carlo方法;

“类梯形”Monte-Carlo方法是平均值法的改进,提高了平均值法的精确度．通过表2可以看出,直接用平均值法计算定积分,节点的计算已经很可观了,但计算结果只有2位有效数字,而选取同样的节点数,计算量几乎不变,类矩阵法就达到了4位有效数字,类梯形法则达到了8位有效数字,恰好与上述定理中误差阶的估计是一致的,从而也验证了“类矩形”Monte-Carlo方法和”类梯形”Monte-Carlo方法的高效性．从表2中也可以看出随着节点数的增大,积分精度会不断提高,当然计算复杂度就会增加.

参考文献

[1]费祥历,刘奋,马铭福.高等数学（第2版上册）[M].山东:

石油大学出版社,2008:

211-287．

[2]徐萃薇,孙绳武.计算方法引论（第三版）.北京:

高等教育出版社,2007.

[3]王晓东.计算机算法分析与设计[M].北京:

电子工业出版社,2001:

197-228.

[4]徐钟济.蒙特卡罗方法[M].上海:

上海科学技术出版社,1985.

[5]张平文,李铁军,数值分析[M].北京:

北京大学出版社,2007.

[6]阮宗利.计算一元定积分的若干数值算法及其比较[J].中国石油大学学报（科技教育）,2010:

182-184.

[7]朱长青.计算方法及其应用.北京:

科学出版社,2006.

[8]张威,刘志军,李艳红.数值分析与科学计算.北京:

清华大学出版社,200,5

[9]明万元,郑华盛.求解数值积分的两类新的Monte-Carlo方法[J].南昌航空大学学报,2010,40（10）:

180-186.

[10]刘长虹,关永亮等.蒙特卡洛在数值积分上的应用[J].上海工程技术大学学报,2010,24

（1）:

43-46.

[11]王岩.Monte-Carlo方法应用研究[J].云南大学学报（自然科学版）,2006,28（SI）:

23-26.