线性代数公式手册.doc
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目录
线性代数 1
(一)行列式 1
(二)矩阵 2
(三)向量 5
(四)线性方程组 8
(五)矩阵的特征值和特征向量 10
(六)二次型 11
线性代数
(一)行列式
考试内容
对应公式、定理、概念
行列式的概念和基本性质、行列式按行(列)展开定理
行列式按行(列)展开定理
(1)
或
即其中
(2)设为阶方阵,则
但不一定成立
(4)
但
(6)范德蒙行列式
设A是n阶方阵,是A的n个特征值,则
(二)矩阵
考试内容
对应公式、定理、概念
矩阵的概念,矩阵的线性运算,矩阵的乘法,
矩阵:
称为矩阵,简记为则称是阶矩阵或阶方阵.
矩阵的线性运算
1矩阵的加法设是两个矩阵,则
矩阵称为矩阵与的和,记为
2矩阵的数乘设是矩阵,是一个常数,则矩阵称为数与矩阵的数乘,记为.
3矩阵的乘法设是矩阵,是矩阵,那么矩阵,其中
称为的乘
积,记为
方阵的幂,方阵乘积的行列式,矩阵的转置,逆矩阵的概念和性质,矩阵可逆的充要条件,伴随矩阵,
1三者之间的关系
但
不一定成立,
,
但不一定成立
2有关A*的结论
3)若可逆,则
4)若为阶方阵,则
3有关的结论
矩阵的初等变换,初等矩阵,矩阵的秩,矩阵等价,分块矩阵及其运算
1有关矩阵秩的结论
1)秩r(A)=行秩=列秩;
2)
3);
4)
5)初等变换不改变矩阵的秩
6)特别若
则
7)若存在若存在
若
若
8)只有零解
2分块求逆公式
;
;
;
这里A,B均为可逆方阵
(三)向量
考试内容
对应公式、定理、概念
向量的概念,向量的线性组合和线性表示,向量的线性相关与线性无关
1有关向量组的线性表示
(1)线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示.
(2)线性无关,,线性相关可以由惟一线性表示.
(3)可以由线性表示
)
2有关向量组的线性相关性
(1)部分相关,整体相关;整体无关,部分无关.
(2)①n个n维向量
n个n维向量线性相关
②n+1个n维向量线性相关.
③若线性无关,则添加分量后仍线性无关;
或一组向量线性相关,去掉某些分量后仍线性相关
向量组的极大线性无关组,等价向量组,向量组的秩
1有关向量组的线性表示
(1)线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示.
(2)线性无关,,线性相关
可以由惟一线性表示.
(3)可以由线性表示
向量组的秩与矩阵的秩之间的关系,向量空间及相关概念
1设,则的秩与的行列向量组的线性相关性关系为:
(1)若,则的行向量组线性无关.
(2)若,则的行向量组线性相关.
(3)若,则的列向量组线性无关.
(4)若,则的列向量组线性相关
n维向量空间的基变换和坐标变换,过渡矩阵
1基变换公式及过渡矩阵
若与是向量空间的两组基,则基变换公式为
其中是可逆矩阵,称为由基到基的过渡矩阵
2坐标变换公式
若向量在基与基的坐标分别是
,即
,则向量坐标
变换公式为
其中是从基到基的过渡矩阵
向量的内积,线性无关向量组的正交规范化方法
内积:
Schmidt正交化
若线性无关,则可构造使其两两正
交,且仅是的线性组合,再把
单位化,记,则是规范正交向量组.其中
,
…………………………………
规范正交基,正交矩阵及其性质
1正交基及规范正交基
向量空间一组基中的向量如果两两正交,就称为正交基;若正交基中每个向量都是单位向量,就称其为规范正交基
(四)线性方程组
考试内容
对应公式、定理、概念
线性方程组的克莱姆法则,奇次线性方程组有非零解的充分必要条件
1克莱姆法则
线性方程组,如果系数行列式,则方程组有唯一解
,其中是把中第列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式.
2n阶矩阵可逆只有零解.总有唯一解,一般地,
只有零解.
非奇次线性方程组有解的充分必要条件,线性方程组解的性质和解的结构
1设A为矩阵,若,则对而言必有从而有解.
2设为的解,则当时仍为的解;但当时,则为的解.特别为的解;为的解.
3非齐次线性方程组无解不能由的列向量线性表示.
奇次线性方程组的基础解系和通解,解空间,非奇次线性方程组的通解.
1齐次方程组恒有解(必有零解).当有非零解时,由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量,因此的全体解向量构成一个向量空间,称为该方程组的解空间,解空间的维数是,解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.
2是的基础解系,即
(1)是的解;
(2)线性无关;
(3)的任一解都可以由线性表出.
是的通解,其中是任意常数.
(五)矩阵的特征值和特征向量
考试内容
对应公式、定理、概念
矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,
1设是的一个特征值,则
有一个特征值分别为
且对应特征向量相同(
例外).
2若为的n个特征值,则
从而没有特征值.
3设为的s个特征值,对应特征向量为
,若
则
相似变换、相似矩阵的概念及性质,
1若,则
(1)
(2)
(3)对成立
矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵,
1设为n阶方阵,则可对角化对每个重根特征值,有
2设可对角化,则由有,从而
3重要结论
(1)若,则.
(2)若,则,其中为关于阶方阵的多项式.
(3)若为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重根重复计算)=秩()
实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵
1相似矩阵:
设为两个阶方阵,如果存在一个可逆矩阵,使得成立,则称矩阵相似,记为.
2相似矩阵的性质
如果则有
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(六)二次型
考试内容
对应公式、定理、概念
二次型及其矩阵表示,合同变换与合同矩阵,二次型的秩
1个变量的二次齐次函数
,其中,称为元二次型,简称二次型.若令
这二次型可改写成矩阵
向量形式.其中称为二次型矩阵,因为,所以二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵的秩称为二次型的秩.
惯性定
理,二次
型的标准
形和规范形
1惯性定理
对于任一二次型,不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型,其正负惯性指数与所选变换无关,这就是所谓的惯性定理.
2标准形
二次型经过合同变换化为称为
的标准形.在一般的数域内,二次型的标准形不是唯一的,与所作的合同变换有关,但系数不为零的平方项的个数由唯一确定.
3规范形
任一实二次型都可经过合同变换化为规范形,其中的秩,为正惯性指数,为负惯性指数,且规范型唯一.
用正交变换和配方法化二次型为标准形,二次型及其矩阵的正定
性
1设正定正定;A可逆;,且
2,B正定A+B正定,但AB,BA不一定正定
3A正定
A的各阶顺序主子式全大于零
A的所有特征值大于零
A的正惯性指数为n
可逆阵P使
存在正交矩阵Q,使
其中正定正定;
可逆;,且
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