线性代数公式手册.doc

1、目 录线性代数1(一) 行列式1(二)矩阵2(三) 向量5(四)线性方程组8(五)矩阵的特征值和特征向量10(六)二次型11线性代数(一) 行列式考试内容对应公式、定理、概念行列式的概念和基本性质、行列式按行（列）展开定理行列式按行（列）展开定理(1)或即 其中 (2)设为阶方阵，则 但不一定成立(4)但(6)范德蒙行列式设A是n阶方阵，是A的n个特征值，则(二)矩阵考试内容对应公式、定理、概念矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，矩阵：称为矩阵，简记为则称是阶矩阵或阶方阵.矩阵的线性运算1矩阵的加法 设是两个矩阵，则矩阵称为矩阵 与的和，记为2矩阵的数乘 设是矩阵，是一个常数，则矩阵称为数

2、与矩阵的数乘，记为.3矩阵的乘法 设是矩阵，是矩阵，那么矩阵，其中称为的乘积，记为方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，1三者之间的关系但不一定成立， 但不一定成立2有关A*的结论3)若可逆，则4)若为阶方阵，则3有关的结论矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵等价，分块矩阵及其运算1有关矩阵秩的结论1）秩r（A）=行秩=列秩；2）3）；4）5）初等变换不改变矩阵的秩6）特别若 则7）若存在 若存在 若 若8）只有零解2分块求逆公式； 这里A，B均为可逆方阵(三) 向量考试内容对应公式、定理、概念向量的概念，向量的线性组合和线性表示，向量的

3、线性相关与线性无关1有关向量组的线性表示(1)线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示.(2)线性无关，线性相关可以由惟一线性表示.(3)可以由线性表示）2有关向量组的线性相关性(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.(2) n个n维向量n个n维向量线性相关 n+1个n维向量线性相关. 若线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关向量组的极大线性无关组，等价向量组，向量组的秩1有关向量组的线性表示(1)线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示.(2)线性无关，线性相关可以由惟一线性表示.(3)可以由线性表示向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空

4、间及相关概念1设，则的秩与的行列向量组的线性相关性关系为：(1)若，则的行向量组线性无关.(2)若，则的行向量组线性相关.(3)若，则的列向量组线性无关.(4)若，则的列向量组线性相关n维向量空间的基变换和坐标变换，过渡矩阵1基变换公式及过渡矩阵若与是向量空间的两组基，则基变换公式为其中是可逆矩阵，称为由基到基的过渡矩阵2坐标变换公式若向量在基与基的坐标分别是，即，则向量坐标变换公式为其中是从基到基的过渡矩阵向量的内积，线性无关向量组的正交规范化方法内积：Schmidt正交化若线性无关，则可构造使其两两正交，且仅是的线性组合，再把单位化，记，则是规范正交向量组.其中， 规范正交基，正交矩阵及其

5、性质1正交基及规范正交基向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基(四)线性方程组考试内容对应公式、定理、概念线性方程组的克莱姆法则，奇次线性方程组有非零解的充分必要条件1克莱姆法则线性方程组，如果系数行列式，则方程组有唯一解，其中是把中第列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式.2 n阶矩阵可逆只有零解.总有唯一解，一般地， 只有零解.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构1设A为矩阵，若，则对而言必有从而有解.2设为的解，则当时仍为的解；但当时，则为的解.特别为的解；为的解.3非齐次线性方程组无解不能由的列

6、向量线性表示.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解.1齐次方程组恒有解(必有零解).当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.2 是的基础解系，即(1) 是的解；(2) 线性无关；(3) 的任一解都可以由线性表出.是的通解，其中是任意常数.(五)矩阵的特征值和特征向量考试内容对应公式、定理、概念矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，1设是的一个特征值，则有一个特征值分别为且对应特征向量相同（例外）.2若为的n个特征值，则从而没有特征值.3

7、设为的s个特征值，对应特征向量为，若则相似变换、相似矩阵的概念及性质，1若，则(1)(2)(3)对成立矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵，1设为n阶方阵，则可对角化对每个重根特征值，有2设可对角化，则由有，从而3重要结论(1)若，则.(2)若，则，其中为关于阶方阵的多项式.(3)若为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)秩()实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵1相似矩阵：设为两个阶方阵，如果存在一个可逆矩阵，使得成立，则称矩阵相似，记为.2相似矩阵的性质如果则有(1)(2)(3)(4)(5)(6)(六)二次型考试内容对应公式、定理、概念二次型及其矩阵表示，合同变换与

8、合同矩阵，二次型的秩1个变量的二次齐次函数，其中，称为元二次型，简称二次型. 若令这二次型可改写成矩阵向量形式.其中称为二次型矩阵，因为，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵的秩称为二次型的秩.惯性定理，二次型的标准形和规范形1惯性定理对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理.2标准形 二次型经过合同变换化为称为的标准形.在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由唯一确定.3规范形 任一实二次型都可经过合同变换化为规范形，其中的秩，为正惯性指数，为负惯性指数，且规范型唯一.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性1设正定正定；A可逆；，且2 ，B正定A+B正定，但AB，BA不一定正定3 A正定 A的各阶顺序主子式全大于零 A的所有特征值大于零 A的正惯性指数为n 可逆阵P使 存在正交矩阵Q，使其中正定正定；可逆；，且15