傅里叶变换公式文档格式.docx

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给定条件下取值是确定的。

进一步分为：

周期信号，非周期信号。

非确定性信号（随机信号）：

给定条件下取值是不确定的

●按取值情况分类：

模拟信号，离散信号

数字信号：

属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。

●信号描述方法

时域描述

如简谐信号

频域描述

以信号的频率结构来描述信号的方法:

将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。

<

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§

2－2周期信号与离散频谱

一、周期信号傅里叶级数的三角函数形式

●周期信号时域表达式

T：

周期。

注意n的取值：

周期信号“无始无终”

#

●傅里叶级数的三角函数展开式

（n=1,2,3，…）

傅立叶系数：

式中Ｔ--周期；

ω0--基频,ω0=2π/T。

●三角函数展开式的另一种形式：

周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法

●频谱图

●周期信号的频谱三个特点：

离散性、谐波性、收敛性

●例1：

求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图

解：

信号的基频

傅里叶系数

n次谐波的幅值和相角

最后得傅立叶级数

频谱图

幅频谱图相频谱图

二、周期信号傅里叶级数的复指数形式

●欧拉公式

或

●傅立叶级数的复指数形式

●复数傅里叶系数的表达式

其中an，bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。

●一般cn是个复数。

因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此#

即：

实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。

●cn的复指数形式

共轭性还可以表示为

，

cn与c-n模相等，相角相反。

●傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。

它与三角函数形式的关系

对于n>

（等于三角函数模的一半）

（与三角函数形式中的相角相等）

●用cn画频谱：

双边频谱

第一种：

幅频谱图:

|cn|-ω，相频谱图:

ϕn-ω

第二种：

实谱频谱图:

Recn-ω，虚频谱图：

Imcn-ω；

也就是an-ω和-bn-ω.

2－3非周期信号与连续频谱

分两类：

a.准周期信号

定义：

由没有公共周期（频率）的周期信号组成

频谱特性：

离散性，非谐波性

判断方法：

周期分量的频率比（或周期比）不是有理数

b.瞬变非周期信号

几种瞬变非周期信号

数学描述：

傅里叶变换

一、傅里叶变换

演变思路：

视作周期为无穷大的周期信号

式（2.22）借助（2.16）演变成：

定义x（t）的傅里叶变换X（ω）

X（ω）的傅里叶反变换x（t）:

●傅里叶变换的频谱意义：

一个非周期信号可以分解为角频率ω连续变化的无数谐波

的叠加。

称X（ω）其为函数x（t）的频谱密度函数。

●对应关系：

X（ω）描述了x（t）的频率结构

X（ω）的指数形式为

●以频率f（Hz）为自变量，因为f=w/（2p），得

X（f）的指数形式

幅值频谱图和相位频谱图：

实频谱图ReX（ω）和虚频谱图Im（ω）

如果X（ω）是实函数，可用一张X（ω）图表示。

负值理解为幅值为X（ω）的绝对值，相角为或。

二、傅里叶变换的主要性质

（一）叠加性

（二）对称性

（注意翻转）

（三）时移性质

（幅值不变，相位随f改变±

2πft0）

（四）频移性质

（注意两边正负号相反）

（五）时间尺度改变特性

（六）微分性质

（七）卷积性质

（1）卷积定义

（2）卷积定理

三、脉冲函数及其频谱

（一）脉冲函数：

定义δ函数（要通过函数值和面积两方面定义）

函数值：

脉冲强度（面积）

（二）脉冲函数的样质

1．脉冲函数的采性（相乘）样质：

强度：

结论：

1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x（t）在脉冲发生时刻的函数值

2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。

2．脉冲函数的卷积性质：

（a）利用结论2

（b）利用结论2

结论：

平移

（三）脉冲函数的频谱

均匀幅值谱

由此导出的其他3个结果

（利用时移性质）

（利用对称性质）

（对上式，再用频移性质）

（四）正弦函数和余弦函数的频谱