人教版高中数学选修4421《曲线的参数方程》教学设计Word文档下载推荐.docx

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二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：

阅读教材第21页至第26页，填空：

一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标都是某个变数的函数：

①

且对于的每一个允许值，由方程组①确定的点都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标之间关系的方程叫普通方程．

（2）想一想：

参数方程与普通方程如何转化？

一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数中的一个与参数的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么就是曲线的参数方程．

（3）写一写：

圆的一般参数方程是什么？

①圆心在原点,半径为的圆的参数方程为（θ为参数）;

②圆心在,半径为的圆的参数方程为（θ为参数）.

2．预习自测

（1）方程（θ是参数）所表示曲线经过下列点中的（　　）

A.（1,1）B.

C.D.

【知识点】参数方程的定义

【解题过程】将选项中的点一一代入曲线的参数方程中，显然选项C满足题意

【思路点拨】根据参数方程的定义求解

【答案】C．

（2）下列方程：

①（m为参数）②（m，n为参数）③④x＋y＝0中，参数方程的个数为（　　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

【解题过程】根据参数方程的定义，只有①是参数方程

【思路点拨】由参数方程的定义求解

【答案】A

（3）参数方程（α为参数）化成普通方程为_______________.

【知识点】参数方程与普通方程互化

【解题过程】由变形整理得，两式分别平方相加得

【思路点拨】利用三角恒等变换消去参数

【答案】.

（4）P（x，y）是曲线（α为参数）上任意一点，则P到直线x－y＋4＝0的距离的最小值是________．

【知识点】参数方程的应用

【解题过程】由P在曲线上可得P的坐标为（2＋cosα，sinα），

由点到直线的距离公式得d＝＝，

当cos＝－1时，d最小，dmin＝＝－1＋3.

【思路点拨】根据参数方程的应用得到点设置，再转化为三角函数的最值问题求解

【答案】－1＋3

（二）课堂设计

1．问题探究

探究一结合实例，认识参数方程★

●活动①归纳提炼概念

在过去的学习中，我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，但在求某些曲线方程时，直接确定曲线上点的坐标的关系并不容易，我们先看下来的例子：

一架救援飞机在离灾区底面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行．为使投放的救援物质准确落于灾区指定的地面飞行员应如何确定投放时机？

（不计空气阻力，重力加速度）

设飞机在点A将物质投出机舱，在过飞机航线且垂直于底面的平面上建立如右图的平面直角坐标系，其中轴为该平面与地面的交线，轴经过A点．记物质从被投出到落地这段时间内的运动曲线为C，为C上任意点，设时刻时，表示物质的水平位移，表示物质距地面的高度.由物理知识，物资投出机舱后，沿方向以的速度作匀速直线运动，沿反方向作自由落体运动，即：

令，代入，解得.

所以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，，可以使其准确落在指定地点.

由上可知：

在的取值范围内，给定的一个值，就可以惟一确定的值，反之也成立.

参数是联系变数的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义，也可以没有明显实际意义的变数.

【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．

●活动②巩固基础，检查反馈

例1已知曲线的参数方程是

（1）判断点与曲线的位置关系；

（2）已知点在曲线上，求的值.

【知识点】参数方程．

【解题过程】

（1）把点的坐标代入方程组，解得，所以在曲线．把点的坐标代入方程组，得，无解，所以不在曲线.

（2）因为点在曲线上，所以，解得

【思路点拨】根据参数方程与曲线的关系来求解．

【答案】

（1）在曲线，不在曲线；

（2）．

同类训练已知某条曲线的参数方程为且点在该曲线上.

（1）求常数a的值；

（2）判断点P（1,0），Q（3，－1）是否在曲线C上？

（1）将M（－3,4）的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t，得a＝1.

（2）由上述可得，曲线C的参数方程是

把点P的坐标（1,0）代入方程组，解得t＝0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标（3，－1）代入方程组，得到这个方程组无解，因此点Q不在曲线C上．

【思路点拨】根据参数方程和曲线的关系来求解．

（1）；

（2）P在曲线C上，点Q不在曲线C上．

【设计意图】巩固基础，加深理解与应用．

探究二探究圆的参数方程

●活动①互动交流、初步实践

结合以上参数方程的定义，你能的得到圆的参数方程吗？

先看下面例子

当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动（如右图）．那么，怎样刻画运动中点的位置呢？

如图1，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0（t＝0时的位置）出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为ω.以圆心O为原点，OM0所在的直线为x轴，建立直角坐标系．显然，点M的位置由时刻t惟一确定，因此可以取t为参数．

【设计意图】通过现实问题的求解，加深对参数方程中参数的意义的理解．

●活动②建立模型，加深认识

如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M（x，y），那么θ＝ωt.设|OM|＝r，如何用r和θ表示x，y呢？

由三角函数定义，有

cosωt＝，sinωt＝，

即（t为参数）

考虑到θ＝ωt，也可以取θ为参数，于是有

（θ为参数）

这就得到了以原点为圆心，半径为的圆参数方程.其中θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．

【设计意图】通过对问题的求解，得出圆的参数方程，同时为求圆的标准方程的参数方程作铺垫．

●活动③归纳梳理、灵活应用

若圆的圆心坐标为，半径为的圆的参数方程是什么呢？

此时圆的标准方程为：

，由，故令

，整理得：

一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围.

【设计意图】由特殊到一般，体会培养学生数学抽象、归类整理意识．

探究三探究参数方程和普通方程的互化★▲

●活动①归纳梳理、体会内在联系

我们除了用普通方程表示曲线外，还可以用参数方程表示曲线，它们是同一曲线的两种不同的表达形式.但由参数方程直接判断曲线的类型不太容易，例如为何曲线？

这就需要我们转化为普通再判断，那么两者如何转化？

由得，所以，表示以为圆心，半径为1的圆.

在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致，即等价转化.

【设计意图】通过实例体会参数方程与普通方程的互化，培养学生数学抽象意识．

例2如图，已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，定点A（12,0），当点P在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹.

【知识点】圆的参数方程、点的轨迹方程．

【数学思想】数形结合

【解题过程】设动点M（x，y），

∵圆x2＋y2＝16的参数方程为（θ为参数），

∴设点P（4cosθ，4sinθ），

由线段的中点坐标公式，得x＝，且y＝，

∴点M的轨迹方程为转化为普通方程得

因此点M的轨迹是以点（6,0）为圆心，以2为半径的圆．

【思路点拨】借助于圆的参数方程来得到点的轨迹方程，即代入法．

【答案】点M的轨迹是以点（6,0）为圆心，以2为半径的圆．

同类训练将例1中的定点的坐标改为，其它条件不变，求线段PA的中点M的轨迹

由线段的中点坐标公式，得

，且y＝，

∴点M的轨迹方程为，转化为普通方程得

【答案】点M的轨迹是以点（2,0）为圆心，以2为半径的圆．

【设计意图】巩固检查参数方程与曲线的关系．

例3把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？

（1）

（2）

【知识点】参数方程化为普通方程．

（1）由，有，代入，得到.又因为，所以与参数方程等价的普通方程是，即以为端点的一条射线（包括端点）.

（2）把平方后减去，得到，又因为，所以，即与参数方程等价的普通方程是，，即开口向上的抛物线的一部分.

【思路点拨】先由一个方程求出参数的表达式，再代入另一个方程，或者利用三角恒等变换消去参数．

（2），．

同类训练化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线．

（1）（t为参数）；

（2）（θ为参数）．

（1）∵x＝1＋2，∴2＝x－1.

∵－4＝－2x＋2，∴y＝3－4＝3－2x＋2.

即y＝－2x＋5（x≥1），它表示一条射线．

（2）∵x＝cosθ＋sinθ＝sin，

∴x∈[－，]．

x2＝1＋2sinθcosθ，

将sinθcosθ＝y代入，得x2＝1＋2y.

∴普通方程为y＝x2－，它是抛物线的一部分．

【设计意图】巩固检查参数方程与普通方程的互化．

●活动③强化提升、灵活应用

例4若x，y满足（x－1）2＋（y＋2）2＝4，求2x＋y的最值．

【知识点】参数方程的应用、三角函数．

【数学思想】转化与化归思想．

【解题过程】令x－1＝2cosθ，y＋2＝2sinθ，则有x＝2cosθ＋1，y＝2sinθ－2，

故2x＋y＝4cosθ＋2＋2sinθ－2＝4cosθ＋2sinθ＝2sin（θ＋φ）．

∴－2≤2x＋y≤2.

即2x＋y的最大值为2，最小值为－2.

【思路点拨】考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题．

【答案】2x＋y的最大值为2，最小值为－2.

同类训练已知点M（x，y）是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围．

【知识点】参数方程的应用、三角函数．．

【数学