立体几何高考题模拟题带答案Word格式文档下载.docx

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BE∥平面PAD；

BC⊥平面PBD；

（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°

．

4．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC．

5．（2014•黄山一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点．

（1）求证：

AF∥平面PCE；

（2）求证：

平面PCE⊥平面PCD；

（3）求四面体PEFC的体积．

6．（2014•南海区模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．

PO⊥平面ABCD；

OE∥平面PDC；

（Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

7．（2014•天津模拟）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．

B1B∥平面D1AC；

平面D1AC⊥平面B1BDD1．

8．（2013•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；

（Ⅱ）BE∥平面PAD；

（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．

9．（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

（Ⅰ）证明：

EF∥平面A1CD；

（Ⅱ）证明：

平面A1CD⊥平面A1ABB1；

（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

10．（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°

，G为线段PC上的点．

BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；

（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．

11．（2013•湖南）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°

，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．

（1）证明：

AD⊥C1E；

（2）当异面直线AC，C1E所成的角为60°

时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．

12．（2012•山东）如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．

BE=DE；

（Ⅱ）若∠BCD=120°

，M为线段AE的中点，求证：

DM∥平面BEC．

13．（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE．

14．（2011•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°

，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．

PB∥平面ACM；

AD⊥平面PAC；

（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

15．（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°

（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

16．（2010•深圳模拟）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点

EF∥平面SAD

（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．

17．（2010•重庆）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．

AB⊥平面PCB；

（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．

2014年12月05日的高中数学组卷

参考答案与试题解析

考点：

直线与平面垂直的判定；

直线与平面平行的判定．

专题：

综合题；

空间位置关系与距离．

分析：

（Ⅰ）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；

（Ⅱ）证明BE⊥AP、BE⊥AC，即可证明BE⊥平面PAC．

解答：

证明：

（Ⅰ）连接CE，则

∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，

∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，

设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，

∵F为线段PC的中点，

∴PA∥OF，

∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，

∴AP∥平面BEF；

（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，

∴BE∥CD，

∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AP⊥CD，

∴BE⊥AP，

∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，

∴四边形ABCE是菱形，

∴BE⊥AC，

∵AP∩AC=A，

∴BE⊥平面PAC．

点评：

本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键

（Ⅰ）先证明AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BC，利用AC⊥BC，可以证明直线BC⊥平面ACC1A1；

（Ⅱ）取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，证明四边形MDEO为平行四边形即可．

∵四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形，

∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，

∵AB∩AC=A，

∴AA1⊥平面ABC，

∵BC⊂平面ABC，

∴AA1⊥BC，

∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，

∴直线BC⊥平面ACC1A1；

（Ⅱ）解：

取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点，则O为AC1的中点．

连接MD，OE，则MD∥AC，MD=AC，OE∥AC，OE=AC，

∴MD∥OE，MD=OE，

连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，

∴DE∥MO，

∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，

∴DE∥平面A1MC，

∴线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC．

本题考查线面垂直的判定与性质的运用，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

直线与平面平行的判定；

与二面角有关的立体几何综合题．

证明题．

（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF、AF，由中位线得性质和AB∥CD及AB=1证出四边形ABEF为平行四边形，则BE∥AF，根据线面平行的判定得BE∥平面PAD；

（Ⅱ）由平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD证出PD⊥AD，利用三条线相互垂直关系，建立直角坐标系，求出，即BC⊥DB，再由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，即证BC⊥平面PBD；

（Ⅲ）利用（Ⅱ）建立的坐标系和结论，求出平面PBD的法向量，利用求出Q的坐标，再利用垂直关系求平面QBD的法向量的坐标，由两个法向量的数量积运算表示二面角的余弦值，化简后求出λ∈（0，1）的值．

解：

（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，AF，

∵E为PC中点，∴EF∥CD，且，

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，

∴EF∥AB，EF=AB，∴四边形ABEF为平行四边形，

∴BE∥AF，∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，

∴BE∥平面PAD．（4分）

（Ⅱ）∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AD．（5分）

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．

则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）．（6分）

，，

∴，BC⊥DB，（8分）

又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，

∴BC⊥平面PBD．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面PBD的法向量为，（10分）

∵，，且λ∈（0，1）

∴Q（0，2λ，1﹣λ），（11分）

设平面QBD的法向量为=（a，b，c），，，

由，，得

，

∴，（12分）

∴，（13分）

因λ∈（0，1），解得．（14分）

本题用了几何法和向量法进行证明平行及垂直关系、求值，有中点时通常构造中位线证明线线平行，根据线面平行的判定定理转化到线面平行；

向量法主要利用数量积为零证明垂直，对待二面角、线面角问题用向量法要简单些，建立坐标系要利用几何体中的垂直条件．

平面与平面垂直的判定；

直线与平面垂直的判定．

证明题；

（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；

（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，