高中数学第三章不等式342基本不等式的应用学案苏教版必修5Word文档下载推荐.docx
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(2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为________;
求和x+y的最小值时,应看积xy是否为________;
(3)等号成立的条件是否满足.
类型一 基本不等式与最值
例1
(1)若x>
0,求函数y=x+的最小值,并求此时x的值;
(2)设0<
x<
,求函数y=4x(3-2x)的最大值;
(3)已知x>
2,求x+的最小值;
(4)已知x>
0,y>
0,且+=1,求x+y的最小值.
反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点:
一是各项均为正;
二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);
三是考虑等号成立的条件是否具备.
跟踪训练1
(1)已知x>
0,求f(x)=+3x的最小值;
(2)已知x<
3,求f(x)=+x的最大值;
(3)设x>
0,且2x+8y=xy,求x+y的最小值.
类型二 基本不等式在实际问题中的应用
命题角度1 几何问题的最值
例2
(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题时,一般是先建立关于目标量的函数关系,再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元,池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池才能使总造价最低?
最低总造价是多少?
命题角度2 生活中的最优化问题
例3 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?
引申探究
若受车辆限制,该厂至少15天才能去购买一次面粉,则该厂应多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的费用最少?
反思与感悟 应用题,先弄清题意(审题),建立数学模型(列式),再用所掌握的数学知识解决问题(求解),最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求最值,要注意验证等号是否成立,若等号不成立,可考虑利用函数单调性求解.
跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于2千米,那么这批货物全部运到B市,最快需要________小时.
1.设a>
0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于________.
2.已知x≥,则f(x)=有最________(填“大”或“小”)值,为________.
3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架,选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝长度应是________m(取整数).
4.已知0<
1,则f(x)=2+log2x+的最大值是________.
1.用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式,通过恒等变形,以及配凑,造就“和”或“积”为定值,从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件:
①“一正”——各项为正数;
②“二定”——“和”或“积”为定值;
③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中,有时看起来可以运用基本不等式求最值,但由于其中的等号取不到,所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的,这时通常可以借助函数y=x+(p>
0)的单调性求得函数的最值.
2.求解应用题的方法与步骤:
(1)审题;
(2)建模(列式);
(3)解模;
(4)作答.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 ∵a>
0,
∴+≥2>
∴≤,
即≤(a>
0),当且仅当=,即a=b时,等号成立.
梳理
≤ ≤ ≤ a=b
知识点二
思考 错.显然(x2+1)min=1.
x2+1≥2x,当且仅当x=1时取等号.仅说明抛物线y=x2+1恒在直线y=2x上方,仅在x=1时有公共点.
使用基本不等式求最值,不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值,可能出错.
(1)正数
(2)定值 定值
题型探究
例1 解
(1)当x>
0时,
x+≥2=4,
当且仅当x=,即x2=4,x=2时取等号.
∴函数y=x+(x>
0)在x=2时取得最小值4.
(2)∵0<
,∴3-2x>
∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]
≤22=.
当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.
∵∈.
∴函数y=4x(3-2x)(0<
)的最大值为.
(3)∵x>
2,∴x-2>
∴x+=x-2++2
≥2+2=6,
当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立.
∴x+的最小值为6.
(4)方法一 ∵x>
0,+=1,
∴x+y=(x+y)
=++10≥6+10=16,
当且仅当=,
又+=1,
即x=4,y=12时,上式取等号.
故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.
方法二 由+=1,
得(x-1)(y-9)=9(定值).
由+=1可知x>
1,y>
9,
∴x+y=(x-1)+(y-9)+10
≥2+10=16,
当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,
y=12时上式取等号,
跟踪训练1 解
(1)∵x>
∴f(x)=+3x≥2=12,
当且仅当3x=,即x=2时取等号,
∴f(x)的最小值为12.
(2)∵x<
3,∴x-3<
∴f(x)=+x=+x-3+3
=-+3
≤-2+3=-1,
当且仅当=3-x,即x=1时取等号.
∴f(x)的最大值为-1.
(3)由2x+8y-xy=0,得y(x-8)=2x.
∵x>
0,∴x-8>
0,y=,
∴x+y=x+=x+
=(x-8)++10
≥2+10=18.
当且仅当x-8=,即x=12时,等号成立.
∴x+y的最小值是18.
例2 解
(1)设矩形菜园的长为xm,宽为ym,
则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.
由≥,可得x+y≥2,
2(x+y)≥40.
当且仅当x=y=10时等号成立.
所以这个矩形的长、宽都为10m时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m.
(2)设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜园的面积为xym2.
由≤==9,可得xy≤81,
当且仅当x=y=9时,等号成立.
所以这个矩形的长、宽都为9m时,菜园的面积最大,最大面积为81m2.
跟踪训练2 解 设水池底面一边的长度为xm,则另一边的长度为m.
又设水池总造价为y元,根据题意,得
y=150×
+120×
(2×
3x+2×
3×
)=240000+720×
≥240000+720×
2
=297600(元),
当且仅当x=,即x=40时,y取得最小值297600.
所以当水池底面为正方形且边长为40m时总造价最低,最低总造价为297600元.
例3 解 设该厂每隔x天购买一次面粉,其购买量为6x吨.
由题意可知,面粉的保管及其他费用为
[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×
1]=9x(x+1).
设平均每天所支付的总费用为y元,
则y=[9x(x+1)+900]+6×
1800
=9x++10809
≥2+10809=10989(元),
当且仅当9x=,
即x=10时,等号成立.
所以该厂每10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少.
解 设x1,x2∈[15,+∞),且x1<x2.
则(9x1++10809)-(9x2++10809)
=9(x1-x2)+900(-)
=(x1-x2)
=(x1-x2).
∵15≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>225,
∴(x1-x2)<0,
即y=9x++10809在[15,+∞)上为增函数.
∴当x=15,即每15天购买一次面粉,每天支付的平均费用最少.
跟踪训练3 8
当堂训练
1.-4 2.小 1 3.7 4.2-2