合肥168中学自主招生数学试题及答案Word文件下载.docx
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+BC²
=4AB²
，作BE∥AD交CD于
E，可证得△BEC是直角三角形且四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，AB=DE，AD²
=CE²
，于是得4AB²
即2AB=CE即2DE=CE，所以CD=3AB）
8.C。
（通过十字相乘法分解因式，得y=（nx-1）[（n+1）x-1]，故其与x轴交点为1/n和1/（n+1），所截得线段长度为1/n-1/（n+1）。
所以线段长度之和为1-1/2+1/2-1/3+…+1/2013-1/2014=2013/2014）
9.3
EQ\R（,3）
。
（连接OB，OA⊥AP，OB⊥BP，易算出∠BAP和∠ABP为60°
，于是得△ABP为等边三角形；
易算出AB=
，所以周长为3
）
10.27。
11.56。
（观察可知aij=[（i-1）²
+j]×
（-1）i+j+1）
12.5/18。
13.3
EQ\R（,2）
（显然AC是正方形ABCD的对称轴，∴对于在AC上的任意一个P点，都能满足PB=PD，所以PD+PE=PB+PE。
显然当P点恰为AC、BE的交点时PB+PE值最小，所以最小值为PB+PE=BE=AB=3
EQ\R（,2））
14.2（易算出S△ABD=6，S△ABE=4，所以S△ABD-S△ABE=2，即S△ADF-S△BEF=2）
15.0°
<
θ<
60°
（由题意可知b²
-4ac<
0，即：
（4sinθ）²
-4×
6×
cosθ<
0。
化简，得2sin²
θ-3cosθ<
由sin²
θ+cos²
θ=1，可知2sin²
θ=2-2cos²
θ，令x=cosθ，则2-2x²
-3x<
0，化简得（2x-1）（x+2）>
所以2x-1和x+2同正或同负，解得x>
1/2或x<
-2。
∵x=cosθ，∴x<
-2排除，故x>
1/2即cosθ>
1/2，得θ<
又θ为三角形内角，所以0°
16.
（1）化简得原式=1/（a²
+2a），又由a²
+2a-1=0可得a²
+2a=1，∴原式值为1。
（2）若a=b，则原式=1+1=2；
若a≠b，则a、b为x²
+3x+1=0的两个根，由韦达定理可得a+b=-3，ab=1。
将原式化为（a+b）²
/ab-2，代入，得原式值为7。
综上，原式的值为1或7。
17.
（1）作AF⊥BC于F，易得出BF=1，AF=
又BC=
+1，∴CF=
由勾股定理，得AC=
EQ\R（,6）
（2）由
（1）及题目，易算出S△ABF=
/2，S△ACF=3/2。
∴S△ACE=
/2。
做法A：
由S=CE×
AD/2可得AD=
/2，∴sin∠ACD=1/2，∴∠ACD=30°
做法B：
由S=sin∠ACD×
CE×
AC/2（面积公式），可得sin∠ACD=1/2，∴∠ACD=30°
18.
（1）若0<
t≤2，作DE⊥BC于E，易得BE=3，EC=1，NP=DE=
，PE=DN=BM=t，∠ABC=60°
∵AB=AD，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=∠ABD=30°
，PQ=BP/
=
-
t/3。
∴S=PQ×
BM/2=-
/6（t-3/2）²
+3
/8（0<
t≤2）。
此时S的最大值为3
/8。
若2≤t<
4，易得BP=NB/2=（4-t）/2。
同0<
t≤2，可得PQ=BP/
=2
/3-
t/6。
/12（t-2）²
+
/3（2≤t<
4）。
此时S最大值为
/3。
显然3
/8大于
/3，故S的最大值为3
综上所述，S=-
t≤2）,
S=-
4）,
S的最大值为3
（2）若BM=MQ，当0<
t≤2时，t=
EQ\R（,（EQ\R（,3）-EQ\R（,3）t/3）²
+（3-t-t）²
）
，解得t1=3（舍去），t2=1.2。
当2≤t<
4时，t=
EQ\R（,[t-（4-t）/2]²
+（2EQ\R（,3）/3-EQ\R（,3）t/6）²
，解得t1=1（舍去），t2=4（舍去）。
若BM=BQ，当0<
t≤2时，2×
（
t/3）=t，解得t=12-6
4时，2×
（2
t/6）=t，解得t=2
-2（舍去）。
若MQ=BQ，当0<
t≤2时，
=2×
t/3），解得t1=2，t2=0（舍去）。
4时，
t/6），解得t1=2，t2=0（舍去）。
综上所述，当t=1.2或t=12-6
或t=2时，△BMQ为等腰三角形。
19.
（1）由垂直平分可得BE=DE，设BE=DE=x，则有（3-x）²
+（
）²
=x²
，得x=2。
故DE=2。
（2）由
（1）及题目可得AE=1，则∠AEB=60°
易证∠DFE=∠BEF=∠EBF=60°
，BE=FE，BG=BM=FN，∴△BEG和△FEN全等（SAS），∴∠GEN=∠BEF=60°
20.
题目缺失
21.
（1）把A（1，-4）代入直线表达式得y=2x-6，算出B点坐标为（3，0），将A、B两点代入抛物线表达式，得y=x²
-2x-3。
（2）存在。
∵OP为公共边，OB=3=OC，∴要使两三角形全等，可使∠POB=∠POC，即P点在直线y=-x上。
计算得出直线y=-x与抛物线在第二象限的交点坐标为（1/2-
EQ\R（,13）
/2，
/2-1/2）。
（3）若∠QAB=90°
，则可设直线QA的表达式为y=-x/2+b，将A点坐标代入，得y=-x/2-7/2，故Q点坐标为（0，-7/2）。
若∠QBA=90°
，同上可设QB的表达式为y=-x/2+b，将B点坐标代入，得y=-x/2+3/2，故Q点坐标为（0，3/2）。
若∠AQB=90°
，可设QA表达式为y1=-x/k+b，则QB表达式为y2=kx+b。
将A点坐标代入y1，B点坐标代入y2，可得k1=1，b1=-3；
k2=1/3，b2=-1。
∴当k=1时，Q点坐标为（0，-3）；
k=1/3时，Q点坐标为（0，-1）。
综上所述，Q点的坐标为（0，-7/2）或（0，3/2）或（0，-3）或（0，-1）。
（4）不存在，理由如下：
作线段AB的中垂线MN，在A点左侧交抛物线于点M，在A点右侧交抛物线于点N，交线段AB于点E，则E点坐标为（2，-2）。
设直线MN的表达式为y=-x/2+b。
把E点代入直线MN，得y=-x/2-1。
计算得M点坐标为（3/4-
EQ\R（,41）
/4，-11/8+
/8），N点坐标为（3/4+
/4，-11/8-
/8）。
易算出EA=EB=
EQ\R（,5）
，∴若能构成等边三角形，则等边三角形的高为
×
EQ\R（,15）
计算可知ME和NE都不等于
，∴不存在这样的点R。
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