广东省惠州市届高三上学期第一次调研数学试题文档格式.docx
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8．已知等比数列的各项均为正数，公比为q﹐且，，记的前n项积为，则下列选项错误的是（ ）．
二、多项选择题：
本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为．
B．将函数的图象右移个单位后，得到一个奇函数．
C．是函数的一条对称轴．
D．是函数的一个对称中心
10．在空间中．、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
11．下列不等关系中，正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
12．在平面直角坐标系中，已知双曲线C：
，若圆与双曲线C的渐近线相切，则下列选项中，正确的有（ ）
A．双曲线C的实轴长为6
B．双曲线C的离心率
C．点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为，，则
D．直线与C交于A，B两点，点D为弦的中点，若（其中O为坐标原点）的斜率为，则
三、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________．
14．某市场去年各月份的收入、支出的统计数据如下图所示，已知利润P=收入—支出，请根据此统计图写出一个关于利润P的正确统计结论：
__________．
15．已知点P在抛物线上，点F为该抛物线的焦点，又已知点A的坐标为，则周长的最小值为__________．
16．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同．南粤流行的“五角粽子”（又称“塔粽”），其形状可以看成所有棱长均相等的正四棱锥．现制作一个棱长均为的五角粽子，需要在该粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，蛋黄的体积与粽子体积的比值为__________．
四、解答题：
本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知条件①面积，条件②；
请从上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
如图，在平面四边形中，，，__________，，，求．
【注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．】
18．（本小题满分12分）
已知数列中，，且（且）
（1）求数列的通项公式；
（2）若b，求证：
．
19．（本小题满分12分）
如图，已知四边形为直角梯形，，，，，且平面平面，是边长为2的等边三角形．
（1）证明：
；
（2）求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
（1）求第4局甲当裁判的概率；
（2）用随机变量X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列及数学期望．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆C：
右焦点为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程：
（2）直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线与x轴交于点M，直线与x轴交于点N，若，求证：
直线l经过定点．
22．（本小题满分12分）
设函数，．
（1）若恒成立，求a的取值范围；
（2）若有两个不同的实数根，求a的取值范围．
惠州市2022届高三第一次调研考试
数学试题参考答案与评分细则
本题共8小题，每小题满分5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
C
1．【解析】由，结合数轴可得；
2．【解析】∵，∴复数对应复平面上的点为，在第二象限：
3．【解析】由或，因此“”是“”的充分不必要条件；
4．【解析由，得，∴．
5．【解析】因为，所以，函数为奇函数，排除A；
时，恒成立，排除D；
因为，，排除C．
【另解】当时，根据一次函数与指数函数的增长速度，可知，再结合奇偶性可选B．
6．【解析】依据题意可知，由于，
所以．因此本次考试120分以上的学生约有人．
7．【解析】依题意数列第1、2项为奇数，第3项为偶数，第4、5项为奇数，第6项又为偶数，依次循环，因此共有偶数，因此；
8．【解析】∵，∴由，∴，
又∵，∴等比数列是递减数列，且，，∴选项A，B正确：
又
，，∴选项C正确，选项D错误；
本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9
10
11
12
全部正确选项
AD
ABD
CD
BCD
9．【解析】，∴，A正确；
﹐将的图象右移个单位后得函数的图像，不满足，所以不是奇函数，B错误；
因为，所以不是函数的对称轴，而是函数对称中心的横坐标，C错误，D正确．
10．【解析】由，得，又由，得，A正确：
由，，得，又由，得，B正确；
若，，，m，n可能平行也可能是异面直线，C错误；
由面面垂直的性质定理知D正确．
11．【解析】：
对于A：
若，，则有，不正确：
对于B：
若，则，不正确；
对于：
因为，，，所以，正确；
对于D：
，，所以，正确．
【另解】当判断出A、B选项不正确后，根据多选题的规则可选C、D．
12．【解析】由题意知的渐近线方程为，所以，解得：
，所以半焦距，所以e，故A错误，B正确；
设，由知：
，所以，，所以．故C正确：
设，，，则，相減得：
，
则，则，则，故D正确．故选B、C、D．
13．；
（或“”）
14．利润最小值为10万元【也可以是：
利润最大值为30万元，全年总利润为250万元，月平均利润为20.8万元，利润众数为20万元，等……】；
15．13；
16．【结果可以写成】
13．【解析】，，则，
故所求切线方程为，整理得；
14．【解析】本题为开放题，由图可得，1月到12月的利润分别为20，20，30，20，20，20．20，10，20，30，20，20，故8月份利润低为10万元，3月和1月利润最高，为30万元，全年总利润为250万元，月平均利润为20.8万元，利润众数为20万元，利润方差约为24.3……等正确结论都可以．
15．【解析】因为A在抛物线内部，抛物线的焦点，抛物线的准线方程为，的周长为，，∴当过A作准线的垂线交抛物线于点P时，最小，此时，周长的最小值为．
16．【解析】球的体积要达到最大，则需要球与正四棱锥五个面都相切，
正四棱锥的高为设球的半径为r，
所以四棱锥的体积，
故解得，则．
本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骙．
【解析1】选择条件①的面积
【解法1】根据三角形面积公式，
∴，
由选择条件得，∴
在中，由余弦定理
∴
【注】1、若解答过程无定义a，b，c而使用此三个符号，需扣1分．
2、能正确写出对解题有用的三角形面积计算公式和余弦定理表达式（非文字），可各给1分．
【解法2】根据三角形面积公式
所以为等腰三角形，
过B作
则
由勾股定理得
所以．
【解析2】选择条件②；
设，则，
在中，由正弦定理，
即，∴
∴，∴
又，∴
则，
【注】1、若解答过程无写出，需扣1分．
2、能正确写出对解题有用的正弦定理表达式（非文字），可给1分，但不重复给分．
3、无过程直接得出或，最多可得4分（公式1分及8—10分点）
【解析】
（1）
【解法1】由已知得，
即，
所以
【注】1、过程有体现累加的思想，可得1分．
2、若等差数列求和出现项数或首项错误，但能写出等差数列求和公式表达式，可得1分．
【解法2】
（数学归纳法）
由得
猜测．
下面用数学归纳法加以证明：
（1）当时，，显然成立．
②假设当时成立，即
则当时，
成立．
【注】1、只有猜测结果且正确，没有证明过程，只可得2分．
2、根据满分卷无瑕疵原则，证明可给满分的情况下，没有写出递推莫基或未指出k的范围（即，）需扣1分．
3、证明过程化简未正确写出的形式，5分点不得分．
（2）∵∴
记，
∴，①
∴②
①—②，得，
即
【注】1、解答过程有错位相减法的思想，可得1分．
2、其它类似解法可按本过程得分点对应给分即可．
【解法1】在直角梯形中，因为，，，
所以；
因为平面平面，平面平面，
平面且，
所以平面，
因此在中，．
因为所以平面，
所以在中．
所以在中，，
【解法2】如图，取中点O，连结，，，则
在直角梯形中，因为，，，
在中，．
在中，
所以在中，，即．
又平面，
又平面，平面，
（2）
【解法1】设线段的中点为O，连接，
因为是等边三角形，所以，
所以平面，又平面，，
由
（1）知，
所以平面，所以，
因此是二面角的平面角，
在中，，
因为，
即二面角为．
【注】1、能正确指出二面角的平面角，可得1分．
2、二面角的平面角证明过程得2分，注意可能在第
（1）小问证明中已经有这个过程．
【解法2】如图，以O为点，过O作平行于的直线为
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