学年高中数学第一章三角函数8函数yAsinωx+φ的图像与性质二学案北师大版必修4Word格式文档下载.docx
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-A
第二步:
在同一坐标系中描出各点.
第三步:
用光滑曲线连接这些点,形成图像.
知识点二 函数y=Asin(ωx+φ),A>
0的性质
名称
性质
定义域
R
值域
[-A,A]
周期性
T=
对称性
对称中心(k∈Z)
对称轴
x=+(k∈Z)
奇偶性
当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数;
当φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间
知识点三 函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义
1.函数y=-2sin的振幅是-2.( ×
)
提示 振幅是2.
2.函数y=sin的初相是.( ×
提示 初相是-.
3.函数y=sin的图像的对称轴方程是x=+kπ,k∈Z.( √ )
提示 令x+=+kπ,k∈Z,解得x=+kπ,k∈Z,即f(x)的图像的对称轴方程是x=+kπ,k∈Z.
类型一 用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图像
例1 利用五点法作出函数y=3sin在一个周期内的图像.
考点 用“五点法”作三角函数的简图
题点 用“五点法”作三角函数的简图
解 依次令-=0,,π,,2π,列出下表:
3
-3
描点,连线,如图所示.
反思与感悟
(1)用“五点法”作图时,五点的确定,应先令ωx+φ分别为0,,π,,2π,解出x,从而确定这五点.
(2)作给定区间上y=Asin(ωx+φ)的图像时,若x∈[m,n],则应先求出ωx+φ的相应范围,在求出的范围内确定关键点,再确定x,y的值,描点、连线并作出函数的图像.
跟踪训练1 已知f(x)=1+sin,画出f(x)在x∈上的图像.
解
(1)∵x∈,
∴2x-∈.
列表如下:
-π
2x-
f(x)
2
1
1-
1+
(2)描点,连线,如图所示.
类型二 由图像求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2 如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图像,求A,ω,φ的值,并确定其函数解析式.
考点 由图像求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
题点 由图像求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
解 方法一 (逐一定参法)
由图像知振幅A=3,
又T=-=π,
∴ω==2.
由点可知,-×
2+φ=0,
得φ=,∴y=3sin.
方法二 (待定系数法)
由图像知A=3,又图像过点和,根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点),有解得
∴y=3sin.
方法三 (图像变换法)
由T=π,点,A=3可知,
图像是由y=3sin2x向左平移个单位长度而得到的,
∴y=3sin,即y=3sin.
反思与感悟 若设所求解析式为y=Asin(ωx+φ),则在观察函数图像的基础上,可按以下规律来确定A,ω,φ.
(1)由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图像与x轴的交点确定T,由T=,确定ω.
(3)确定函数y=Asin(ωx+φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法:
把图像上的一个最高点或最低点代入(此时A,ω已知)或代入图像与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
②五点对应法:
确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下:
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;
“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx+φ=;
“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;
“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx+φ=;
“第五点”为ωx+φ=2π.
跟踪训练2 (2017·
贵州贵阳一中期末考试)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>
0)的部分图像如图所示,则ω=.
考点 求三角函数的解析式
题点 根据三角函数的图像求解析式
答案
解析 由图,知=-=,
∴T=,又T==,∴ω=.
类型三 函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用
例3 已知曲线y=Asin(ωx+φ)上最高点为(2,),该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6,0).
(1)求函数的解析式;
(2)求函数在x∈[-6,0]上的值域.
考点 三角函数图像的综合应用
题点 三角函数图像的综合应用
解
(1)由题意可知A=,=6-2=4,
∴T=16,即=16,∴ω=,
∴y=sin.
又图像过最高点(2,),∴sin=1,
故+φ=+2kπ,k∈Z,φ=+2kπ,k∈Z,
由|φ|≤,得φ=,∴y=sin.
(2)∵-6≤x≤0,∴-≤x+≤,
∴-≤sin≤1.
即函数在x∈[-6,0]上的值域为[-,1].
跟踪训练3 设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),函数y=f(x)的图像的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ的值;
(2)求函数y=f(x)的单调区间及最值.
考点 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
题点 函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用
解
(1)由2x+φ=kπ+,k∈Z,
得x=+-,令+-=,
得φ=kπ+,k∈Z.
∵-π<φ<0,∴φ=-.
(2)由
(1)知,f(x)=sin.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
故函数的递增区间是(k∈Z).
同理可得函数的递减区间是(k∈Z)
当2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1;
当2x-=2kπ-(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,函数取得最小值-1.
1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0,0<
φ<
π)的图像的一段如图所示,它的解析式可以是( )
A.y=sinB.y=sin
C.y=sinD.y=sin
答案 A
解析 由图像可得A=,=--=,
所以T=π,所以ω===2,
所以y=sin(2x+φ).
将点的坐标代入y=sin(2x+φ),
得=sin,
则sin=1,
所以-+φ=+2kπ(k∈Z),
即φ=+2kπ(k∈Z).
又0<
π,令k=0,则φ=.
所以解析式可以是y=sin.
2.函数y=Asin(ωx+φ)+k的图像如图,则它的振幅A与最小正周期T分别是( )
A.A=3,T=B.A=3,T=
C.A=,T=D.A=,T=
答案 D
解析 由题图可知A=×
(3-0)=,
设周期为T,则T=-=,得T=.
3.下列表示函数y=sin在区间上的简图正确的是( )
解析 将y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短为原来的,再将所有点向右平移个单位长度即可得到y=sin的图像,依据此变换过程可得到A中图像是正确的.也可以分别令2x-=0,,π,,2π得到五个关键点,描点连线即得函数y=sin的图像.
4.已知函数f(x)=sin(ω>
0)的最小正周期为π,则该函数的图像( )
A.关于点对称B.关于直线x=对称
C.关于点对称D.关于直线x=对称
解析 ω==2,所以f(x)=sin.
将x=代入f(x)=sin,
得f
=0,故选A.
5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)写出f(x)的递增区间.
考点 三角函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
题点 三角函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
解
(1)易知A=,T=4×
[2-(-2)]=16,
∴ω==,∴f(x)=sin,
将点(-2,0)代入得sin=0,
令-+φ=0,∴φ=,
∴f(x)=sin.
(2)由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,解得16k-6≤x≤16k+2,k∈Z,
∴f(x)的递增区间为[16k-6,16k+2],k∈Z.
1.利用“五点”法作函数y=Asin(ωx+φ)的图像时,要先令“ωx+φ”这一个整体依次取0,,π,π,2π,再求出x的值,这样才能得到确定图像的五个关键点,而不是先确定x的值,后求“ωx+φ”的值.
2.由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A,ω,φ的值.
(1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T=,所以往往通过求得周期T来确定ω,可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T,即相邻的最高点与最低点之间的距离为;
相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口,以y=Asin(ωx+φ)(A>
0)为例,位于递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.
3.在研究y=Asin(ωx+φ)(A>
0)的性质时,注意采用整体代换的思想,如函数在ωx+φ=+2kπ(k∈Z)时取得最大值,在ωx+φ=+2kπ(k∈Z)时取得最小值.
一、选择题
1.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f
=f
,则有f
等于( )
A.3或0B.-3或0
C.0D.-3或3
解析 由f
知,x=是函数的对称轴,解得f
=3或-3,故选D.
2.如图所示,函数的解析式为( )
A.y=sinB.y=sin
C.y=cosD.y=cos
解析 由图知T=4×
=π,∴ω==2.
又当x=时,y=1,经验证,可得D项解析式符合题目要求.
3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示,为了得到g(x)=sin