普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科 数学试题及答案学生版Word下载.docx

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A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10−10.1

7.设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：

就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

9.函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．

10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=________，Sn的最小值为_______．

11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．

12.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；

②m∥；

③l⊥．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：

__________．

13,设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；

若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：

一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

三、解答题（共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.（本小题13分）

在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求sin（B–C）的值．

16.（本小题14分）

如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

（Ⅰ）求证：

CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；

（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

17.（本小题13分）

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额（元）

支付方式

（0，1000]

（1000，2000]

大于2000

仅使用A

18人

9人

3人

仅使用B

10人

14人

1人

（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；

（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？

说明理由．

18.（本小题14分）

已知抛物线C：

x2=−2py经过点（2，−1）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：

以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

19.（本小题13分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：

；

（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为MA.．当MA.最小时，求a的值．

20.（本小题13分）

已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1<

i2<

…<

im），若，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列．规定：

数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．

（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若p<

q，求证：

<

（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．

数学试题参考答案

1-5.DBDBC6-8.ACC

9.

10.0-10

11.40

12.若，，则.（答案不唯一）

13.-1

14.13015

15.解：

（Ⅰ）由余弦定理，得

.

因为，

所以.

解得.

（Ⅱ）由得.

由正弦定理得.

在中，∠B是钝角，

所以∠C为锐角.

16.解：

（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．

又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．

（Ⅱ）过A作AD的垂线交BC于点M．

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．

如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）．

所以．

设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则

即

令z=1，则．

于是．

又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以.

由题知，二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为．

（Ⅲ）直线AG在平面AEF内．

因为点G在PB上，且，

由（Ⅱ）知，平面AEF的法向量.

所以直线AG在平面AEF内.

17.解：

（Ⅰ）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人.

故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人.

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为.

（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2.

记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.

由题设知，事件C，D相互独立，且.

所以，

=0.4×

（1−0.6）+（1−0.4）×

0.6

=0.52，

所以X的分布列为

X

1

2

P

0.24

0.52

故X的数学期望E（X）=0×

0.24+1×

0.52+2×

0.24=1.

（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.

假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得.

答案示例1：

可以认为有变化.理由如下：

P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.

答案示例2：

无法确定有没有变化.理由如下：

事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.

18.解：

（Ⅰ）由抛物线经过点，得.

所以抛物线的方程为，其准线方程为.

（Ⅱ）抛物线的焦点为.

设直线的方程为.

由得.

设，则.

直线的方程为.

令，得点A的横坐标.

同理得点B的横坐标.

设点，则，

令，即，则或.

综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.

19.解：

（Ⅰ）由得.

令，即，得或.

又，，

所以曲线的斜率为1的切线方程是与，

即与.

（Ⅱ）令.

令得或.

的情况如下：

所以的最小值为，最大值为.

故，即.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

当时，；

当时，.

综上，当最小时，.

20.解：

（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）

（Ⅱ）设长度为q末项为的一个递增子列为.

由p<

q，得.

因为的长度为p的递增子列末项的最小值为，

又是的长度为p的递增子列，

所以·

（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是中的项.

先证明：

若2m是中的项，则2m必排在2m−1之前（m为正整数）.

假设2m排在2m−1之后.

设是数列的长度为m末项为2m−1的递增子列，则是数列的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.

再证明：

所有正偶数都是中的项.

假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小的正偶数为2m.

因为2k排在2k−1之前（k=1，2，…，m−1），所以2k和不可能在的同一个递增子列中.

又中不超过2m+1的数为1，2，…，2m−2，2m−1，2m+1，所以的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为.

与已知矛盾.

最后证明：

2m排在2m−3之后（m≥2为整数）.

假设存在2m（m≥2），使得2m排在2m−3之前，则的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小于.与已知矛盾.

综上，数列只可能为2，1，4，3，…，2m−3，2m，2m−1，….

经验证，数列2，1，4，3，…，2m−3，2m，2m−1，…符合条件.

所以