极坐标与参数方程数学讲义Word文档格式.docx
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4.极坐标
极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.
①极点；
②极轴；
③长度单位；
④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对（ρ,θ）叫做M点的极坐标.
注意：
①点与点关于极点中心对称；
②点与点是同一个点；
③如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对应的关系）；
同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。
④极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．P（，）（极点除外）的全部坐标为（,＋）或（，＋），（Z）．极点的极径为0，而极角任意取．
圆的极坐标方程
①以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；
②以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；
③以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；
直线的极坐标方程
①过极点的直线的极坐标方程是和.
②过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.化为直角坐标方程为.
③过点且平行于极轴的直线l的极坐标方程是.化为直角坐标方程为.
极坐标和直角坐标的互化
（1）互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
（2）互化公式
θ的象限由点（x,y）所在的象限确定
三、课前预习
1．直线的参数方程是（）
A、（t为参数）B、（t为参数）
C、（t为参数）D、（t为参数）
答案：
C
2．已知，下列所给出的不能表示点的坐标的是（）
A、B、C、D、
A
3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是（）
A、B、C、（1,0）D、（1，）
解：
将极坐标方程化为普通方程得：
，圆心的坐标为，其极坐标为，选B
4．点，则它的极坐标是（）
5．直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线（为参数）和曲线上，则的最小值为（）
A、1B、2C、3D、4
6．参数方程为表示的曲线是（）
A、一条直线B、两条直线C、一条射线D、两条射线
D
7．（）
A、-6B、C、6D、
8．极坐标方程化为直角坐标方程是（）
A、B、
C、D、
9．曲线与曲线的位置关系是（）
A、相交过圆心B、相交C、相切D、相离
D
10．曲线的参数方程为（t是参数），则曲线是（）
A、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线
11．在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是.
12．圆C：
（θ为参数）的圆心到直线：
（t为参数）的距离为。
13．已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为___________．
．
14．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知曲线、的极坐标方程分别为，曲线的参数方程为（为参数，且），则曲线、、所围成的封闭图形的面积是.
四、典例分析
考向一极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
相关知识点：
极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.
互化公式：
或
【例1】
（1）点M的极坐标分别是，，，
换算成直角坐标依次是，，，
（2）点M的直角坐标分别是，，，如果
换算成极坐标依次是，，，
【例2】在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为．
分析：
由得．所以，圆心坐标
过圆心的直线的直角坐标方程为．直线的极坐标方程为。
【变式1】在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（B）
A、B、C、D、
圆心在即指的是直角坐标系中的圆的直角坐标方程：
。
圆的极坐标方程为
【变式2】已知曲线的极坐标方程分别为（），则曲线与交点的极坐标为_____.
解:
曲线的直角坐标方程分别为,且，两曲线交点的
直角坐标为（3，）.所以，交点的极坐标为
【变式3】在极坐标系中，已知点（1，）和,则、两点间的距离是．
如图所示,在△OAB中，
评述:
本题考查极坐标及三角形面积公式，数形结合是关键。
考向二曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
【例3】
（1）曲线C:
（为参数）的普通方程为（C）
A、B、
C、D、
（2）参数方程表示的曲线是（）
A、椭圆
B、双曲线C、抛物线
D、圆
B
【变式1】已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则=________。
抛物线的标准方程为，它的焦点坐标是，所以直线的方程是，圆心到直线的距离为
【变式2】若直线与圆（为参数）没有公共点，
则实数的取值范围是.
【变式3】直线被圆所截得的弦长为（）
A、B、C、D、
分析:
，得圆心到直线的距离，弦长=
【例4】已知点是圆上的动点，求的取值范围。
设圆的参数方程为，
小结：
①设动点的坐标为参数方程形式；
②将含参数的坐标代人所求代数式或距离公式；
③利用三角性质及变换公式求解最值.
【变式5】在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．
因椭圆的参数方程为，故可设动点的坐标为，其中.因此。
所以,当是，取最大值2。
【题后反思】1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，并且要保证消参的等价性，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。
2.化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f（t）（或y=（t）），再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=（t）（或x=f（t））。
一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）。
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
3.在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致。
【课后巩固练习】
1．椭圆（）
A、（-3，5），（-3，-3）B、（3，3），（3，-5）
C、（1，1），（-7，1）D、（7，-1），（-1，-1）
化为普通方程得，∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.∴F（x-3,y+1）=F（0,±
4），∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是（3，3）和（3，-5）.应选B.
2．参数方程（）
A.双曲线的一支，这支过点（1，）B.抛物线的一部分，这部分过（1，）
C.双曲线的一支，这支过（-1，）D.抛物线的一部分，这部分过（-1，）
由参数式得x2=1+sinθ=2y（x＞0）.即y=x2（x＞0）.∴应选B.
3．在方程（θ为参数）所表示的曲线一个点的坐标是（）
A、（2,-7）B、（，）C、（，）D、（1，0）
y=cos2=1-2sin2=1-2x2，将x=代入，得y=。
∴应选C.
4．曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为（）
A、x2+（y+2）2=4B、x2+（y-2）2=4C（x-2）2+y2=4D、（x+2）2+y2=4
将ρ=，sinθ=代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+（y-2）2=4.∴应选B.
5．已知圆的极坐标方程ρ=2sin（θ+），则圆心的极坐标和半径分别为（）
A、（1,）,r=2B、（1,）,r=1C、（1,）,r=1D、（1,-）,r=2
6．在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程是（）
A、ρsinθ=2B、ρcosθ=2C、ρcosθ=-2D、ρcosθ=-4
点P（ρ,θ）为l上任意一点，则有cosθ=，得ρcosθ=2，∴应选B.
7．表示的曲线是（）
A、圆B、椭圆C、双曲线的一支D、抛物线
4ρsin2=54ρ·
把ρ=ρcosθ=x，代入上式，得2=2x-5.平方整理得y2=-5x+它表示抛物线.∴应选D.
8.极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是（）
A、两条射线B、两条相交直线C、圆D、抛物线
由4sin2θ=3,得4·
＝3,即y2=3x2，y=±
它表示两相交直线.∴应选B.
9．直线：
3x-4y-9=0与圆：
的位置关系是（）
A、相切B、相离C、直线过圆心D、相交但直线不过圆心
10．在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（）
A、2B、C、D、
分别化为直角坐标进行计算，化为直角坐标是，圆的直角坐标方程是，圆心的坐标是，故距离为。
11．经过点M（1，5）且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是（）
A、B、
12．若直线（（t为参数）与圆x2+y2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为（）
A、B、C、或D、或
13．设的最小值是（C）
A、B、C、－3D、
14.若直线的参数方程为（t为参数），则过点（4，-1）且与平行的直线在y轴上的截距为.
-4
15．直线（t为参数）的倾斜角为；
直线上一点P（x，y）与点M（-1，2）的距离为.
135°
，|3t|
16．圆的圆心坐标为，和圆C关于直线对称的圆C′的普通方程是。
（3，－2）；
（x＋2）2＋（y－3）2＝16
17．在极坐标系中，圆与直线的位置关系是.
相切
18．在极坐标系中，直线（）与圆交于、两点，则 ．
8
19．在直角坐标系中，
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